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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

$K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]$

besteht, wo der Exponent $u$ eine ungerade Zahl und die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert $0$ haben können; endlich bedeutet $[\xi ]$ eine Einheit des Körpers $k$ oder eine solche Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, deren Quadrat eine Einheit in $k$ wird, so daß $[\xi ]$ im allgemeinen eine Einheit in $k$ sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in $k$ darstellen kann, wenn $\mu$ eine Einheit in $k$ oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ ist.

Die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]=1$

mit ganzen rationalen Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und $[\xi ]=1$ ist.

Beweis. Im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ gibt es ein volles System von $m-1$ Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$. Wir betrachten die Gesamtheit der $\textstyle {\frac {3m}{2}}-2$ Einheiten

${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$,   $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$.

Sobald $\textstyle {\frac {m}{2}}-1>0$ ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}}\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{a_{{\frac {m}{2}}-1}}=1$,

(1)

wo $A_{1}$, …, $A_{m-1}$, $a_{1}$, …, $a_{{\frac {m}{2}}-1}$ ganze rationale Exponenten und $A_{1}$, …, $A_{m-1}$ nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

$A_{1}=2^{e}A_{1}^{'},\,\ldots ,\,A_{m-1}=2^{e}A_{m-1}^{'}$;

dabei bedeute $2^{e}$ die höchste in den sämtlichen Zahlen $A_{1}$, …, $A_{m-1}$ aufgehende Potenz von $2$ und es sei etwa $A_{m-1}^{'}$ eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{-a_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{-a_{{\frac {m}{2}}-1}}$,

so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}={\sqrt[{2^{e}}]{\varepsilon }}$.

(2)

Da hier die rechte Seite eine gewisse $2^{e}$-te Wurzel aus einer Einheit $\varepsilon$ in $k$ bedeutet

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 394. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/411&oldid=- (Version vom 9.9.2019)