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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

ungerade und daher gewiß von $0$ verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ notwendig sämtlich gleich $0$ sind.

Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent $e$ verschwinden muß. Würde $e$ nämlich den Wert $1$ haben können, so wäre ${\mathfrak {M}}={\sqrt {\mu }}$ ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ und folglich $\mu ={\mathfrak {j}}^{2}$; das Erheben zur $h$-ten Potenz würde $\mu ^{h}={\mathfrak {j}}^{2h}$ liefern und, wenn ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$ gesetzt wird, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, so würde $\mu ^{h}=\varepsilon \iota ^{2}$ oder $\mu =\varepsilon \alpha ^{2}$ folgen, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\alpha ={\frac {\iota }{\mu ^{\frac {h-1}{2}}}}$ eine gewisse Zahl in $k$ bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ sämtlich gleich $0$ sind.

Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den $t$ ambigen Primidealen ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ solche $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{*}+1$ aus – es seien dazu etwa ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+1}$ geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale ${\mathfrak {M}}$, ${\mathfrak {M}}_{1}$, …, ${\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$, durch die übrigen ambigen Primideale ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ und gewisse Ideale ${\mathfrak {m}}^{(i)}$ des Körpers $k$, wie folgt, ausdrücken lassen:

${\mathfrak {D}}_{i}={\mathfrak {M}}^{b^{(i)}}{\mathfrak {M}}_{1}^{b_{1}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{b_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{(i)}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{d_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{d_{t}^{(i)}}{\mathfrak {m}}^{(i)}$

(8)

$\left(i=1,2,\ldots ,{\frac {m}{2}}-v^{*}+1\right)$

wo die Exponenten $b^{(i)}$, $b_{1}^{(i)}$ ,…, $b_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{(i)}$, $d_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{(i)}$, …, $d_{t}^{(i)}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ und ebenso die Quadrate der Ideale

${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$

Ideale in $k$ werden.

Da die Ideale ${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+1}$ bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …,${\mathfrak {D}}_{t}$ bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 400. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/417&oldid=- (Version vom 9.9.2019)