Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/484

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

§ 37. Das Symbol $\mathbf {\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}$ für beliebige ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir dehnen nunmehr die Bedeutung des in Definition 17 eingeführten Symbols $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ auf den Fall aus, daß $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind; das so verallgemeinerte Symbol wird sich wiederum als gleichbedeutend mit dem allgemeinen Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ erweisen.

Definition 18. Es seien wie bisher ${\mathfrak {l}}_{1}={\mathfrak {l}}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren von $2$ und es gehe das Primideal ${\mathfrak {l}}_{z}={\mathfrak {l}}$ genau zur $l_{1}=l$-ten, ferner gehen die Primideale ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ bez. zur $l_{2}$, …, $l_{z}$-ten Potenz in $2$ auf; endlich seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$ und es gehe in $\mu$ genau die $a$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ auf: dann wird das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

definiert; hierin ist das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu ${\mathfrak {m}}$ erstrecken und $\mu ^{*}$ soll eine solche ganze Zahl sein, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv \alpha ^{2},&&({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

genügt, wo $\alpha$ irgendeine ganze zu ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ prime Zahl in $k$ bedeutet.

Wir zeigen wie in § 32, indem wir statt des dort benutzten Satzes 36 nunmehr den Satz 40 anwenden, daß das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die getroffenen Festsetzungen eindeutig bestimmt ist.

Aus der Definition 18 entnehmen wir leicht mit Benutzung der beiden letzten Formeln in Satz 14 die folgende dem Satz 45 entsprechende Tatsache:

Satz 55. (Hilfssatz). Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen in $k$ sind, so gelten in bezug auf ein jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ die Formeln

${\begin{aligned}\left({\frac {\underline {\nu _{1}\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu _{1},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu _{2},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{1}}}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu _{2}}}{\mathfrak {l}}}\right).\end{aligned}}$

§ 38. Die Übereinstimmung der beiden Symbole $\mathbf {\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)}$ und $\mathbf {\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}$ für beliebige ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Um die Übereinstimmung der beiden Symbole $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ und $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ für beliebige ganze Zahlen $\nu$, $\mu$ zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:

Satz 56. (Hilfssatz). Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ im Körper $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf; ferner seien $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ ganze Zahlen in $k$ und es gehe in diesen Zahlen das Primideal ${\mathfrak {l}}$ bez. genau zur $b_{1}$, $b_{2}$, $a_{1}$, $a_{2}$-ten

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 467. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/484&oldid=- (Version vom 9.9.2019)