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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ ausfällt: dann gilt die Gleichung

$\left({\frac {\lambda }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\lambda ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)$.

Zum Beweise des Satzes 61 setze man in 60 $\nu =\lambda$, $\mu =\pi$ ein.

Der Satz 61 heiße der zweite Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für die quadratischen Reste im Körper $k$.

§ 40. Die Anzahl der Normenreste nach einem in $2$ aufgehenden Primideal.

Es gelingt jetzt, die Aussagen des Satzes 15 auf die Primfaktoren der Zahl $2$ auszudehnen. Wir sprechen den folgenden Satz aus:

Satz 62. Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ und zwar gehe ${\mathfrak {l}}$ genau zur $l$-ten Potenz in 2 auf: wenn dann die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist, so ist jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl $\nu$ in $k$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Wenn dagegen die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ den Faktor ${\mathfrak {l}}$ enthält und $L$ einen beliebigen Exponenten größer als $2l$ bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu ${\mathfrak {l}}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ inkongruenten Zahlen $\nu$ in $k$ genau die Hälfte Normenreste des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Beweis. Wenn ${\mathfrak {l}}$ nicht in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so können wir mit Rücksicht auf Satz 4 und 6 annehmen, daß $\mu$ kongruent dem Quadrat einer ganzen zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ ausfällt. Eine gemäß Definition 17 zu $\mu$ bestimmte Zahl $\mu ^{*}$ wird dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ und folglich erhalten wir nach Satz 36 $\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ und mithin nach Satz 50 auch $\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$; damit ist die erste Aussage des Satzes 62 als richtig erkannt.

Und um die zweite Aussage des Satzes 62 zu beweisen, nehmen wir zunächst $\mu$ prim zu $2$ an; es sei $\mu ^{*}$ eine gemäß Definition 17 zu $\mu$ bestimmte ganze Zahl in $k$. Wir haben in Satz 29 gewisse $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ aufgestellt und aus diesen gewisse ganze Zahlen $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ abgeleitet, so daß dann nach diesem Satze jede zu $2$ prime ganze Zahl des Körpers $k$ nach dem Modul $2^{2}$ in der dort angegebenen Gestalt darstellbar ist; wir setzen somit insbesondere

$\mu ^{*}\equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\beta ^{2},\qquad (2^{2}),$

worin die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Wir unterscheiden im folgenden zwei Fälle, je nachdem die Exponenten $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich gleich $0$ sind oder mindestens einer dieser Exponenten

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 474. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/491&oldid=- (Version vom 9.9.2019)