Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/491

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so daß ausfällt: dann gilt die Gleichung

.

Zum Beweise des Satzes 61 setze man in 60 , ein.

Der Satz 61 heiße der zweite Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für die quadratischen Reste im Körper .

§ 40. Die Anzahl der Normenreste nach einem in aufgehenden Primideal.

Es gelingt jetzt, die Aussagen des Satzes 15 auf die Primfaktoren der Zahl auszudehnen. Wir sprechen den folgenden Satz aus:

Satz 62. Es sei ein Primfaktor von und zwar gehe genau zur -ten Potenz in 2 auf: wenn dann die Relativdiskriminante des Körpers nicht durch teilbar ist, so ist jede zu prime ganze Zahl in Normenrest des Körpers nach .

Wenn dagegen die Relativdiskriminante des Körpers den Faktor enthält und einen beliebigen Exponenten größer als bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu primen und nach inkongruenten Zahlen in genau die Hälfte Normenreste des Körpers nach .

Beweis. Wenn nicht in der Relativdiskriminante von aufgeht, so können wir mit Rücksicht auf Satz 4 und 6 annehmen, daß kongruent dem Quadrat einer ganzen zu primen Zahl nach ausfällt. Eine gemäß Definition 17 zu bestimmte Zahl wird dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul und folglich erhalten wir nach Satz 36 und mithin nach Satz 50 auch ; damit ist die erste Aussage des Satzes 62 als richtig erkannt.

Und um die zweite Aussage des Satzes 62 zu beweisen, nehmen wir zunächst prim zu an; es sei eine gemäß Definition 17 zu bestimmte ganze Zahl in . Wir haben in Satz 29 gewisse Primideale , …, aufgestellt und aus diesen gewisse ganze Zahlen , …, abgeleitet, so daß dann nach diesem Satze jede zu prime ganze Zahl des Körpers nach dem Modul in der dort angegebenen Gestalt darstellbar ist; wir setzen somit insbesondere

worin die Exponenten , …, , , …, gewisse Werte , haben und eine geeignete ganze Zahl in bedeutet.

Wir unterscheiden im folgenden zwei Fälle, je nachdem die Exponenten , …, sämtlich gleich sind oder mindestens einer dieser Exponenten