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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

in jedem anderen Falle dagegen

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=-1$.

Fällt $\mu$ gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl $(\neq 0)$ in $k$ aus, so werde stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

gesetzt. Ferner definieren wir noch die $s$ Symbole

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right),\left({\frac {\nu ,\mu }{1'}}\right),\dots ,\left({\frac {\nu ,\mu }{1^{(s-1)}}}\right)$;

wir setzen stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right)=+1$,

wenn wenigstens eine der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ positiv ausfällt; dagegen setzen wir

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right)=-1$,

wenn jede der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ negativ ausfällt. Ferner bezeichnen wir allgemein die in $k^{(i)}$ gelegenen zu $\nu ,\mu$ konjugierten Zahlen bez. mit $\nu ^{(i)},\mu ^{(i)}$ und setzen

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1'}}\right)=\left({\frac {\nu ',\mu '}{1}}\right),\qquad \left({\frac {\nu ,\mu }{1''}}\right)=\left({\frac {\nu '',\mu ''}{1}}\right),\dots ,\left({\frac {\nu ,\mu }{1^{(s-1)}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{(s-1)},\mu ^{(s-1)}}{1}}\right)$.

Ist nun ein bestimmter relativquadratischer Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$ vorgelegt, so wird eine naturgemäße Definition des Geschlechtsbegriffes aus der Definition 12 meiner Abhandlung gewonnen, wenn man sich des verallgemeinerten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ bedient, wo $\omega$ die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale und überdies diejenigen Zeichen $1^{(i)}$ durchläuft, wofür die in $k^{(i)}$ gelegene zu $\mu$ konjugierte Zahl $\mu ^{(i)}$ negativ ausfällt. Es gelingt dann ohne erhebliche Schwierigkeit die ganze in meiner Abhandlung entwickelte Theorie der relativquadratischen Körper auf den hier in Rede stehenden Fall, daß der Körper $k$ die in § 4 gemachten Annahmen erfüllt, auszudehnen.

Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$ erhält mit Benutzung des erweiterten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ die folgende einfache Fassung:

Satz 7. Wenn $\nu ,\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ sind, so ist stets

$\prod _{(\omega )}{\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)}=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale $\omega ={\mathfrak {w}}$ in $k$ und über die $s$ Zeichen $\omega =1,1',1'',\dots ,1^{(s-1)}$ erstreckt werden soll.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 489. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/506&oldid=- (Version vom 31.7.2018)