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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

$k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen zu $\alpha$ konjugierten Zahlen $\alpha '$, $\alpha ''$, …, $\alpha ^{(s-1)}$ positiv ausfällt, d. h., die total positiv in $k$ ist. Rechnen wir alle solchen Ideale des Körpers $k$, die in diesem engeren Sinne untereinander äquivalent sind, zu einer Klasse, so besitzt der Körper $k$, wie leicht ersichtlich ist, genau ${\overline {h}}=2^{s-p}$ Idealklassen.

Nach diesen Vorbereitungen findet die oben aufgeworfene Frage nach den unverzweigten Körpern in bezug auf $k$ in folgender Weise ihre Beantwortung:

Satz 6. Für den Körper $k$ gibt es ein System von $s-p$ unabhängigen relativquadratischen unverzweigten Körpern in bezug auf $k.$ Durch Zusammensetzung dieser $s-p$ Körper entsteht ein Körper $Kk$ vom Relativgrade ${\overline {h}}=2^{s-p}$ in bezug auf $k$, der sämtliche unverzweigten Körper in bezug auf $k$ als Unterkörper enthält und der Klassenkörper von $k$ heißen möge. Die Anzahl ${\overline {H}}$ der Idealklassen dieses Körpers $Kk$ ist, auch wenn wir den Klassenbegriff in der vorhin (für $k$) angegebenen engeren Fassung nehmen, stets eine ungerade Zahl^[1].

Eine der merkwürdigsten Eigenschaften des Klassenkörpers $Kk$ besteht darin, daß die Primideale des Körpers $k$, welche einer und der nämlichen Idealklasse von $k$ engeren Sinne angehören, im Klassenkörper $Kk$ stets die nämliche Zerlegung in Primideale dieses Körpers $Kk$ erfahren, d. h. so daß die Anzahl der verschiedenen Primideale und ihre Grade die gleichen sind; die Zerlegung eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ im Körper $Kk$ hängt somit nur von der Klasse ab, der das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ angehört.

§ 6.

Um die genannten Tatsachen zu beweisen und unter den in § 4 gemachten Annahmen die Theorie des relativquadratischen Körpers in bezug auf $k$ vollständig auszubauen, bedürfen wir eines Symbols, welches ich bereits in meinem in Braunschweig gehaltenen Vortrage erklärt habe.

Definition 6. Es sei ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, und es seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$, nur daß $\mu$ nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ausfällt; wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine solche ganze Zahl $A$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N(A)$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so setze ich

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$;

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1. Für $h=1$, ${\overline {h}}=2$ und ${\overline {h}}=4$ wurde diese letzte Behauptung von Ph. Furtwängler bewiesen. Nachrichten der K. Ges. d. Wiss. Göttingen 1906, s. 417—434. [Anm. d. Herausgebers].

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 488. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/505&oldid=- (Version vom 31.7.2018)