Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/504

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 10

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei gleich $1$.

Bei diesen Annahmen wird die Definition 1 des primären Ideals unverändert beibehalten, dagegen wird es nötig, den Begriff einer primären Zahl enger zu fassen.

Definition 5. Eine Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ heißt total positiv in $k$, falls die $s$ zu $\alpha$ konjugierten bez. in $k$, $k'$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen Zahlen sämtlich positiv sind. Wenn eine zu $2$ prime Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt und wenn außerdem $\alpha$ total positiv in $k$ ist, so heiße $\alpha$ eine primäre Zahl des Körpers $k$.

Bei Anwendung der so festgesetzten Bezeichnungsweise gilt der erste Ergänzungssatz 1 und das allgemeine Reziprozitätsgesetz 3 wiederum genau in der früheren Fassung und, wenn man in entsprechender Weise den Begriff der hyperprimären Zahl enger faßt, so bleibt auch der zweite Ergänzungssatz 2 in der früheren Fassung gültig.

§ 5.

Wir erörtern ferner die Frage, ob es unter den in §4 für den Körper $k$ zugrunde gelegten Annahmen relativquadratische unverzweigte Körper in bezug auf $k$ gibt. Zu dem Zwecke setzen wir zunächst allgemein fest, daß, wenn $\varepsilon$ irgendeine Einheit in $k$ bedeutet, stets $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, …, $\varepsilon ^{(s-1)}$ die zu $\varepsilon$ konjugierten bez. in $k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen Einheiten bezeichnen sollen.

Nunmehr nehmen wir $\varepsilon _{1}=-1$: wie die Einheit $\varepsilon _{1}$ fallen offenbar alle zu $\varepsilon _{1}$ konjugierten Einheiten negativ aus. Ferner möge es in $k$ eine Einheit $\varepsilon _{2}$ geben, welche in $k$ positiv ist, während mindestens eine der konjugierten Einheiten $\varepsilon _{2}'$, …, $\varepsilon _{2}^{(s-1)}$ negativ ausfällt; es sei etwa die in $k'$ gelegene Einheit $\varepsilon _{2}'$ negativ. Sodann möge es in $k$ eine Einheit $\varepsilon _{3}$ geben, welche positiv ist und für welche auch $\varepsilon _{3}'$ positiv wird, während mindestens eine der konjugierten Einheiten $\varepsilon _{3}''$, $\varepsilon _{3}'''$, …, $\varepsilon _{3}^{(s-1)}$ negativ ausfällt; es sei etwa die in $k''$ gelegene Einheit $\varepsilon _{3}''$ negativ. In dieser Weise fahren wir fort; wir mögen schließlich eine Einheit $\varepsilon _{p}(p\leqq s)$ erhalten von der Beschaffenheit, daß $\varepsilon _{p}$, $\varepsilon _{p}'$, $\varepsilon _{p}''$, …, $\varepsilon _{p}^{(p-2)}$ sämtlich positiv sind, dagegen $\varepsilon _{p}^{(p-1)}$ negativ ausfällt und nun soll das eingeschlagene Verfahren sein Ende erreicht haben, d. h. wenn irgendeine Einheit $\varepsilon$ in $k$ nebst ihren $p-1$ konjugierten Einheiten $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, …, $\varepsilon ^{(p-1)}$ positiv ausfällt, so sei nunmehr auch stets jede der übrigen $s-p$ konjugierten Einheiten $\varepsilon ^{(p)}$, …, $\varepsilon ^{(s-1)}$ positiv.

Die Zahl $s-p$ erhält eine besonders einfache Bedeutung, wenn wir dem Äquivalenz- und Klassenbegriff eine engere Fassung erteilen als bisher geschehen ist. Wir wollen nämlich fortan zwei Ideale ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {k}}$ des Körpers $k$ nur dann als äquivalent bezeichnen, wenn $\textstyle {\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {k}}}=\alpha$ gesetzt werden kann, so daß $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k$ ist, die selbst nebst den sämtlichen bez. in

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 487. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/504&oldid=- (Version vom 31.7.2018)