Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/503

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 10

Wir zerlegen nun die Zahl $2$ im Körper $k$ in Primideale wie folgt:

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$,

wo ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoten der Zahl $2$ in $k$ und $l_{1}$, $l_{2}$, …, $l_{z}$ die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl $2$ aufgehen.

Definition 3. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das nicht nur für jede Einheit $\xi$ in $k$, sondern auch für jede in $2$ aufgehende ganze Zahl $\lambda$ des Körpers $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\lambda }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heilße ein hyperprimäres Ideal.

Definition 4. Eine solche zu $2$ prime Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, welche kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt, heiße eine hyperprimäre Zahl des Körpers $k.$

Wir können dann den wesentlichen Inhalt des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz wie folgt aussprechen:

Satz 2. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein hyperprimäres Ideal in $k$ ist, so gibt es stets eine hyperprimäre Zahl $\alpha$, so daß ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ wird, und umgekehrt: wenn $\alpha$ eine hyperprimäre Zahl in $k$ ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ stets ein hyperprimäres Ideal.

Der wesentliche Inhalt des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper $k$ lautet wie folgt:

Satz 3. Wenn $\nu$, $\mu$, $\nu '$, $\mu '$ irgendwelche zu zwei prime ganze Zahlen in $k$ sind derart, daß die beiden Produkte $\nu \nu '$ und $\mu \mu '$ primär ausfallen und $\nu$ zu $\mu$, $\nu '$ zu $\mu '$ prim ist, so ist stets

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)=\left({\frac {\nu '}{\mu '}}\right)\left({\frac {\mu '}{\nu '}}\right)$

Wenn die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k$ nicht gleich $1$, sondern eine beliebige ungerade Zahl ist, so wird nur eine geringfügige und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmende Abänderung im Ausdrucke der Sätze 1 bis 3 notwendig.

Satz 4. Jede Einheit in $k$, welche primär (eine primäre Zahl) ist, ist das Quadrat einer Einheit in $k$.

Satz 5. Es gibt in bezug auf $k$ keinen relativquadratischen unverzweigten Körper.

Die beiden letzten Sätze gelten unverändert für den Fall, daß die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k$ eine beliebige ungerade Zahl ist.

§ 4.

Wir legen nunmehr für den Körper $k$ folgende Annahmen zugrunde:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k$, $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s(>0)$ reeller Körper; seien dies die Körper $k$, $k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}.$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 486. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/503&oldid=- (Version vom 31.7.2018)