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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

so müßte, wie die vorhin angestellte Überlegung zeigt, die Ungleichung (8) gelten, was der Gleichung (11) widerspricht.

Wir sehen mit Rücksicht hierauf, daß die Einheiten $\varepsilon$ in $k$, welche den Bedingungen (7) genügen, im Falle I genau ${\frac {m}{2}}-t$ und im Falle II genau ${\frac {m}{2}}-t+1$ voneinander unabhängige Einheitenverbände ausmachen. Da diese Zahl wegen (10), (11) in beiden Fällen I, II gleich $v^{*}$ ausfällt, so liefern jene Einheiten $\varepsilon$ im ganzen $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände; dieselben müssen daher mit denjenigen Einheitenverbänden übereinstimmen, deren Einheiten Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sind, d. h. in beiden Fällen I, II ist jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, die den Bedingungen (7) genügt, notwendig die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ und damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

Hilfssatz 2 Wenn ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, dessen Quadrat einem Ideal in $k$ äquivalent ausfällt, so ist auch ${\mathfrak {J}}$ stets einem Ideal in $k$ äquivalent.

Beim Beweise verstehen wir unter $S$ die Relativsubstitution $\left({\sqrt {\omega }}:-{\sqrt {\omega }}\right)$ und unter $N$ die Relativnorm einer Zahl oder eines Ideals in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$. Da die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$

$N\left({\mathfrak {J}}\right)={\mathfrak {J}}.S{\mathfrak {J}}$

jedenfalls ein Ideal in $k$ ist und nach Voraussetzung ${\mathfrak {J}}^{2}$ einem Ideal in $k$ äquivalent sein soll, so folgt, das auch der Idealquotient ${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ einem Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$äquivalent sein muß.

Im Falle I ist ${\mathfrak {j}}$ gewiß in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ein Hauptideal. Wir beweisen andererseits, daß im Falle II das Ideal ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k$ Hauptideal ist. Wäre nämlich ${\mathfrak {j}}$ in $k$ nicht Hauptideal, so wäre ${\mathfrak {jr}}\sim 1$, wo ${\mathfrak {r}}$ die früher festgesetzte Bedeutung hat; setzen wir dann

${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}{\mathfrak {r}}=A$,

wo $A$ eine gebrochene Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, so folgt offenbar, indem wir auf beiden Seiten die Relativnorm bilden,

$\varepsilon \rho =N\left(A\right)$,

(12)

wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\rho =\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ die früher bestimmte Zahl in $k$ bezeichnet. Da das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ im Falle II in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ vorkommt, so erhalten wir wegen (12) die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}}{{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}}}\right)=+1$,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 496. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/513&oldid=- (Version vom 31.7.2018)