Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/514

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

und diese widerspricht der in (1) getroffenen Festsetzung für das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$.

Wir haben somit erkannt, daß in beiden Fällen I, II der Idealquotient ${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ äquivalent $1$ ausfällt; wir setzen demgemäß

${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}=A$,

(13)

wo $A$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist. Bilden wir dann die Relativnorm

$\varepsilon =N(A)$,

(14)

so ist $\varepsilon$ eine Einheit in $k$, die den Bedingungen (7) genügen muß und diese Einheit $\varepsilon$ wird daher nach dem oben bewiesenen Hilfssatz 1 gleich der Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$; wir setzen

$\varepsilon =N(E^{-1})$,

(15)

wo $E$ eine Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist. Aus (14) und (15) folgt

$N(AE)=1$.

(16)

Setzen wir

$B=1+S(AE)$,

(bez. $B=1$, wenn etwa $AE=-1$ ist), so wird wegen (16)

${\frac {SB}{B}}=EA\qquad$ (bez. $=1$),

und hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (13) die Gleichung für Ideale

${\frac {S(B{\mathfrak {J}})}{B{\mathfrak {J}}}}=1$,

d. h. $B{\mathfrak {J}}$ ist das Produkt eines ambigen Ideals des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ in ein Ideal des Körpers $k$. Da nun für beide Fälle I, II früher die Gleichung $a^{*}=0$ bewiesen worden ist und folglich alle ambigen Ideale in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Hauptideale sind, so folgt, daß auch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ einem Ideal des Körpers $k$ äquivalent sein muß. Hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 2 erbracht.

Hilfssatz 3Wenn ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, so gibt es stets einen ungeraden Exponenten $u$, so daß ${\mathfrak {J}}^{u}$ einem Ideal in $k$ äquivalent ist.

In der Tat, ist $H$ die Klassenanzahl des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ und setzen wir $H=2^{a}u$, wo $a$ einen gewissen Exponenten und $u$ eine ungerade Zahl bedeutet, so folgt, daß ${\mathfrak {J}}^{2^{a}u}\sim 1$ sein muß und hieraus schließen wir mit Rücksicht auf Hilfssatz 2 der Reihe nach, daß die Ideale ${\mathfrak {J}}^{2^{a-1}u},{\mathfrak {J}}^{2^{a-2}u},\dots ,{\mathfrak {J}}^{2u},{\mathfrak {J}}^{u}$ gewissen Idealen in $k$ äquivalent ausfallen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 497. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/514&oldid=- (Version vom 31.7.2018)