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des Körpers , das in der Hauptklasse angehört, im Klassenkörper , der jetzt ist, weiter zerlegbar sein muß. Wir führen diesen Nachweis in folgender Weise:

Nach dem in § 11 Bewiesenen ist die Zahl von der Gestalt (4):

,

wo die Exponenten gewisse Werte haben, aber nicht sämtlich gleich sind: es sei etwa ; dann bezeichnen wir die Zahlen bez. mit und bestimmen von verschiedene Primideale in derart, daß

(23)

wird. Wegen (23) sind nach der zweiten Aussage des Satzes 9c diese Primideale sämtlich Hauptideale in ; wir setzen

,

wo ganze Zahlen in bedeuten. Nunmehr wollen wir zeigen, daß ein Ausdruck von der Gestalt

(24)

nur dann eine primäre Zahl in darstellen kann, wenn die Exponenten sämtlich den Wert haben. In der Tat, wäre primär und wenigstens einer dieser Exponenten gleich , so beweisen wir wie oben durch Hilfssatz 4, daß alle Primideale in , welche in zerlegbar werden, in Hauptideale sind, d. h. es müßten dann alle Primideale , nach welchen quadratischer Rest ist, Hauptideale in sein. Die Tatsache, daß zugleich auch alle Primideale , nach denen quadratischer Rest ist, Hauptideale in sind, führt uns wie früher in § 11 auf einen Widerspruch.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 501. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/518&oldid=- (Version vom 31.7.2018)