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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Relativdiskriminante $1$ zu konstruieren, was auf Grund des schon bewiesenen Satzes 9a stets möglich ist.

Wenn für einen Körper $k$ der gemeinsame Wert der Klassenanzahl $h$ im ursprünglichen Sinne und der Klassenanzahl ${\overline {h}}$ im engeren Sinne nicht gleich $4$, sondern das Vierfache irgendeiner ungeraden Zahl ist, so bedürfen die hier ausgesprochenen Sätze nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 15.

Die im vorstehenden bewiesenen und im folgenden Paragraph (§ 16) allgemein ausgesprochenen Sätze zeigen, daß für die vollständige Untersuchung der arithmetischen Eigenschaften eines beliebig vorgelegten Grundkörpers $k$ vor allem die Kenntnis des zu $k$ gehörigen Klassenkörpers $Kk$ erforderlich ist. Unsere Entwicklungen setzen uns nun in den Stand, in jedem besonderen Falle auf arithmetischem Wege den Klassenkörper $Kk$ wirklich zu finden. Im folgenden wollen wir auf eine transzendente Bestimmungsweise des Klassenkörpers hinweisen, die der bekannten von Dirichlet ersonnenen Methode der transzendenten Bestimmung der Klassenanzahl entspricht.

Wir machen für den Grundkörper $k$ die besondere Annahme $h={\overline {h}}=2$ und bezeichnen mit $\kappa$ die in meinem Berichte Über die Theorie der algebraischen Zahlkörper^[1] im § 25 definierte, dem Körper $k$ eigentümliche Zahl; ferner mögen $H$ die Klassenanzahl des Klassenkörpers $Kk$ und ${\mathsf {K}}$ die entsprechend definierte Zahl für den Klassenkörper $Kk$ bezeichnen: dann gilt die folgende Formel

${\underset {s=1}{L}}\left\{\sum _{({\mathfrak {j}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {j}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(-)})^{s}}}\right\}={\frac {H{\mathsf {K}}}{h\kappa }},\qquad (s>1)$

(31)

worin die Summe ${\underset {({\mathfrak {j}}^{(+)})}{\Sigma }}$ über alle Hauptideale ${\mathfrak {j}}^{(+)}$ in $k$ und die Summe ${\underset {({\mathfrak {j}}^{(-)})}{\Sigma }}$ über alle diejenigen Ideale ${\mathfrak {j}}^{(-)}$ erstreckt werden soll, die nicht Hauptideale in $k$ sind. Der Ausdruck ${\mathsf {K}}$ enthält in gewisser Weise die Logarithmen der Einheiten des Klassenkörpers $Kk$, so daß durch denselben die erwünschte Bestimmung des Klassenkörpers ermöglicht ist.

Zum Beweise der Formel (31) betrachten wir das Produkt

$\zeta (s)=\prod _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}})^{-s}}}$,

(32)

in welchem ${\mathfrak {w}}$ alle Primideale des Körpers $k$ durchläuft; dasselbe konvergiert für reelle Werte von $s>1$ und es ist

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta (s)\right\}=h\kappa$.

(33)

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1. Vgl. Jber. der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4, 229 (1894-95). Dieser Band S. 115.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 507. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/524&oldid=- (Version vom 31.7.2018)