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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Das entsprechende Produkt für den Körper $Kk$ lautet

$Z(s)=\prod _{({\mathfrak {W}})}{\frac {1}{1-nN({\mathfrak {W}})^{-s}}}$,

$(s>1)$

wo rechter Hand ${\mathfrak {W}}$ alle Primideale von $Kk$ durchläuft und $nN$ die Norm der Relativnorm von ${\mathfrak {W}}$ in $k$, d. h. die Norm in $Kk$ bedeutet. Es ist dann

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)Z(s)\right\}=H{\mathsf {K}}$.

(34)

Wir unterscheiden nun unter den Primidealen ${\mathfrak {W}}$ diejenigen, die durch Zerlegung irgendeines Primideals in $k$ entstehen, und diejenigen, die Primideale in $k$ sind. Wegen Satz 9c fällt, für die ersteren $N({\mathfrak {W}})$ gleich einem Primideal ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ der Hauptklasse in $k$ aus; für die letzteren dagegen ist $N({\mathfrak {W}})$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ in $k$, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört. Mit Rücksicht hierauf wird

$Z(s)=\prod _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{(1-n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{-s})^{2}}}\prod _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{-2s}}}$

und hieraus folgt wegen (32)

${\frac {Z(s)}{\zeta (s)}}=\prod _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{-s}}}\prod _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{-s}}}=\sum _{{\mathfrak {j}}^{(+)}}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{{\mathfrak {j}}^{(-)}}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(-)})^{s}}}$;

diese Gleichung liefert, wenn wir zur Grenze $s=1$ übergehen, mit Rücksicht auf (33), (34) den verlangten Beweis der Formel (31).

§ 16.

Es sei endlich $k$ ein völlig beliebiger Zahlkörper. Wir treffen folgende Festsetzungen, in denen gar keine beschränkende Annahme für $k$ liegt:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s$ reeller Körper.

2. Die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k$, im engeren Sinne verstanden, sei eine beliebige Zahl ${\overline {h}}$.

Ein in bezug auf $k$ relativ-Abelscher Körper $K$ heiße unverzweigt, wenn die Relativdiskriminante von $K$ in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt, oder, was das nämliche bedeutet, wenn es in $k$ kein Primideal gibt, das durch das Quadrat eines Primideals in $K$ teilbar wird. Wir stellen dann folgende Theoreme auf, die im vorstehenden für gewisse besondere Fälle bewiesen worden sind, deren vollständiger Beweis jedoch, wie ich überzeugt bin, auf Grund der von mir angegebenen Methoden gelingen muß:

Satz 14. Es gibt in bezug auf $k$ stets einen völlig bestimmten relativ-Abelschen unverzweigten Körper $Kk$ vom Relativgrade ${\overline {h}}$; dieser Körper $Kk$ heiße der Klassenkörper von $k$. Der Klassenkörper $Kk$ enthält sämtliche in bezug auf $k$ relativ-Abelschen unverzweigten Körper als Unterkörper.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 508. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/525&oldid=- (Version vom 31.7.2018)