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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 11

11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen (Waringsches Problem)^[1].

Dem Andenken an Hermann Minkowski gewidmet.

[Mathematische Annalen Bd. 67, S. 281–300 (1909)].

Theorem. Jede positive ganze Zahl läßt sich als Summe von $n$-ten Potenzen positiver ganzer Zahlen darstellen, so daß deren Anzahl unterhalb einer Schranke liegt, die nur durch den Exponenten $n$ bedingt ist, dagegen nicht von der darzustellenden Zahl abhängt.

Dieses Theorem ist allgemein von Waring^[2] vermutungsweise ausgesprochen worden; der Beweis für dasselbe gelang jedoch bisher nur in besonderen Fällen, nämlich für

$n=2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10.$

Die Mathematiker, denen wir diese Beweise und zugleich auch scharfsinnige Untersuchungen über die Reduktion der Anzahl der zur Darstellung zu verwendenden Potenzen verdanken, sind J. Liouville ($n=4$), Maillet^[3] ($n=3,\ n=5,\ n=8$), Fleck^[4] ($n=6$), Landau^[5] ($n=3,\ n=4$)‚ I. Schur ($n=10$), Hurwitz^[6] ($n=8$), Wieferich^[7] ($n=3,\ n=4,\ n=5,\ n=7$).

Der allgemeine Beweis des Theorems, den ich im folgenden geben werde, gelingt mittels einer neuartigen Anwendung der Analysis auf die Zahlentheorie. Während man nämlich sonst in der analytischen Zahlentheorie von arithmetischen Formeln ausgehend durch Grenzübergang zu Integralrelationen für arithmetische Größen gelangt – ich erinnere an die Bestimmung der Klassenanzahlen – oder, wie in der Primzahltheorie, asymptotische Ausdrücke mittels transzendenter Funktionen sucht, so werde ich gegenwärtig umgekehrt

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1. Mit einigen Veränderungen und Zusätzen abgedruckt aus den Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1909, Sitzg. 6. Februar. S. 17–36.
2. Meditationes algebricae, ed. III. Cambridge 1782, S. 349–350.
3. Congrès de Bordeaux 1895. – J. de Mathém.‚ Ser. 5, 2 (1896). – C. r. Acad. Sci. Paris 145 (1907). – Bull. Soc. math. France 36 (1908).
4. Sitzgsber. Berl. math. Ges. 1906. – Math. Annalen 64 (1907).
5. Rendiconti Circ. mat. Palermo 23 (1907). – Math. Annalen 66 (1908).
6. Math. Annalen 65 (1908).
7. Math. Annalen 66, 67 (1908–09) (3 Abhandlungen).

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 510. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/527&oldid=- (Version vom 31.7.2018)