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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

von einer gewissen Integralformel ausgehen und aus ihr schließlich eine rein arithmetische Relation gewinnen.

Um diesen Gedanken deutlich hervortreten zu lassen, schicke ich dem Beweise des Theorems zunächst zwei Sätze voraus.

Satz I^[1]. Es sei $m$ eine beliebige positive ganze Zahl, dann gilt identisch in den 5 Variabeln $x_{1}$ , …, $x_{5}$ die Integralformel

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=C\int {\underset {(S)}{\cdots }}\int (t_{1}x_{1}+\cdots t_{5}x_{5})^{2m}dt_{1}\cdots dt_{5}$;

(1)

dabei bedeutet $C$ eine gewisse durch $m$ bestimmte positive Konstante, nämlich

${\frac {(2m+1)(2m+3)(2m+5)}{8\pi ^{2}}}$,

und das 5-fache Integral rechts ist über die Kugel $S$

$t_{1}^{2}+\cdots +t_{5}^{2}\leqq 1$

(2)

zu erstrecken.

Zum Beweise verstehen wir unter $x_{1}$, …, $x_{5}$ irgend welche reellen Größen und bestimmen dann eine orthogonale Substitution der 5 Variabeln $t_{1}$, …, $t_{5}$ in $t'_{1}$, …, $t'_{5}$

${\begin{aligned}t'_{1}=&\alpha _{11}t_{1}+\cdots +\alpha _{51}t_{5},\\&\vdots \\t'_{5}=&\alpha _{15}t_{1}+\cdots +\alpha _{55}t_{5},\\\end{aligned}}$

(3)

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1. In meiner ursprünglichen Veröffentlichung (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1909) habe ich mich hier eines gewissen 25-fachen Integrals bedient; daß man dasselbe für den vorliegenden Zweck durch das obige 5-fache Integral ersetzen kann, ist eine sehr dankenswerte, mir von verschiedenen Seiten (F. Hausdorff, J. Kürschák u. a.) gemachte Bemerkung. Der dort von mir formulierte und bewiesene Satz I über das 25-fache Integral beansprucht jedoch deshalb ein selbständiges Interesse, weil er in engster Beziehung zu der schönen Theorie der orthogonalen Invarianten von A. Hurwitz steht (vgl. dessen Abhandlung „Über die Erzeugung der Invarianten durch Integration“, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1897) und in einfachster Weise den Grundgedanken zum Ausdruck bringt, mittels dessen diesem Forscher der Nachweis für die Endlichkeit des vollen Systems orthogonaler Invarianten gelungen ist. [Es handelt sich dort um die Formel

   $(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=C\int {\underset {(T)}{\cdots }}\int (t_{11}x_{1}+\cdots t_{15}x_{5})^{2m}dt_{11}dt_{12}\cdots dt_{22}dt_{23}\cdots dt_{45}dt_{55}$,

   wobei das 25-fache Integral rechts über denjenigen 25-dimensionalen ganz im Endlichen gelegenen Bereich $T$ zu erstrecken ist, der dadurch bestimmt ist, daß seine Punkte $t_{\varkappa \lambda }$ von einem Punkte $o_{\varkappa \lambda }$ des durch die 15 Orthogonalitätsrelationen

   ${\begin{aligned}o_{\varkappa 1}^{2}+&\cdots +o_{\varkappa 5}^{2}=1,\\o_{\varkappa 1}o_{\lambda 1}+&\cdots +o_{\varkappa 5}o_{\lambda 5}=0\\(\varkappa ,\,\lambda &=1,\,\ldots ,\,5)\end{aligned}}$

   ($\varkappa \neq \lambda$)

   definierten 10-dimensionalen Bereiches $\Omega$ eine Entfernung

   $\sum \limits _{\varkappa ,\,\lambda }(t_{\varkappa \lambda }-o_{\varkappa \lambda })^{2}\leqq 1$

   besitzen. (Anm. d. Her.)]

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 511. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/528&oldid=- (Version vom 17.10.2016)