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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Wenden wir den von H. Minkowski aufgestellten Satz^[1] über die Diskriminante allgemeiner Zahlkörper auf den biquadratischen Dirichletschen Körper $K_{\delta }$ an, so erkennen wir, daß es in jeder Idealklasse des Dirichletschen Körpers $K_{\delta }$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ gibt, dessen Norm $N({\mathfrak {J}})$ absolut genommen kleiner als ${\tfrac {3}{2\pi ^{2}}}\left|{\sqrt {D}}\right|$ ausfällt, wo $D$ die Diskriminante des Körpers $K_{\delta }$ bedeutet. Da aber $D\leqq 2^{8}\left|\delta \right|^{2}$ und ${\tfrac {3\cdot 2^{3}}{\pi ^{2}}}<{\sqrt {6}}$ ist und da ferner die Norm $N({\mathfrak {J}})$ absolut genommen gleich dem Quadrat des absoluten Betrages der Partialnorm $\nu =\nu ({\mathfrak {J}})$ wird, so ergibt sich der Satz, daß in jeder Idealklasse des Körpers $K_{\delta }$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ gefunden werden kann, für welches $\left|\nu ({\mathfrak {J}})\right|^{2}<{\sqrt {6}}\left|\delta \right|$ ausfällt.

Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern $K_{\delta }$ gilt, für welche $|\delta |<{\sqrt {6}}$ ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik $\delta$ die sämtlichen absolut genommen unter ${\sqrt {6}}$ liegenden Werte von $\delta$ und unter der Rubrik $\nu$ die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung $|\nu |^{2}<{\sqrt {6}}|\delta |$ genügenden $\nu$ sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers $K_{\delta }$ hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich $\nu$ wird.

$\delta$	$\nu$
$1\pm 2i$	$1\mp i$	${\frac {1+i{\sqrt {1\pm 2i}}}{1\pm i}}$
$2\pm i$	$2\mp i$	$1\mp i+i{\sqrt {2\pm i}}$
	$1\pm i$	$i+i{\sqrt {2\pm i}}$
$1\pm i$	$\pm i$	$i+i{\sqrt {1\pm i}}$
$i$	$1+i$	$1+i{\sqrt {i}}$

Es sei jetzt $\delta$ eine ganze imaginäre Zahl, deren absoluter Betrag $|\delta |>{\sqrt {6}}$ ausfällt, und wir nehmen an, der Satz 3 sei bereits bewiesen für alle diejenigen Körper $K_{\delta }$, für welche $|\delta '|<|\delta |$ wird. Ist dann $\nu$ die Partialnorm eines Ideals ${\mathfrak {J}}$, deren Charakterensystem in $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so bestimme man in $K_{\delta }$ ein zu ${\mathfrak {J}}$ äquivalentes Ideal ${\mathfrak {J}}'$, dessen Partialnorm

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1. Vgl. Comptes rendus 1891. Für obigen Zweck reicht schon die von H. Minkowski, J. Math. 107, 296 (1891), aufgestellte Ungleichung aus.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 36. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/53&oldid=- (Version vom 31.7.2018)