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nach (4) aus notwendig auch folgen wurde. Um die eben gefundene Formel für 2 beliebige Primzahlen , anzuwenden, für welche und nicht notwendig sind, müssen wir in jener Formel an Stelle , bezüglich , einsetzen und erhalten dann den folgenden Satz:

Wenn und von verschiedene Primzahlen und bezüglich bezüglich nach sind, so gilt das Reziprozitätsgesetz

.

Wir definieren nun das allgemeine Symbol , wo und zwei beliebige zueinander und zu prime Zahlen sind, durch die Gleichung

;

hierin ist das Produkt über alle Primfaktoren und der beiden Zahlen bezüglich zu erstrecken, wie sie in der Produktdarstellung von bezüglich vorkommen. Es folgt dann unmittelbar der Satz:

Wenn und beliebige zueinander und zu prime ganze Zahlen sind und [WS 1], nach gesetzt wird, so ist

.

Diese Formel setzt uns in den Stand die Bedingung anzugeben, welche in einem beliebigen Dirichletschen Körper zwischen den Chakakteren bestehen muß, damit dieselben das Charakterensystem eines existierenden Geschlechtes bilden.

Wir nehmen zunächst an, daß nicht durch teilbar sei und setzen dann in obiger Formel und , wo eine zu und zu prime Partialnorm eines Ideals im Körper bedeutet. Da dann nach § 2 die Zahl von allen in zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so ist und folglich wird

.

Ist nun nach , so wird die Partialdiskriminante und wenn wir daher sämtliche in derselben aufgehenden Primzahlen mit , …, bezeichnen, so wird

.

Ist dagegen nicht nach , so kommt in der Partialdiskriminante des Körpers als Faktor vor. Wir bezeichnen dann die in

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Vorlage:
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/63&oldid=- (Version vom 31.7.2018)