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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

nach (4) aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ notwendig auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen wurde. Um die eben gefundene Formel $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]$ für 2 beliebige Primzahlen $\varkappa$, $\pi$ anzuwenden, für welche $t_{\varkappa }$ und $t_{\pi }$ nicht notwendig $=0$ sind, müssen wir in jener Formel an Stelle $\varkappa$, $\pi$ bezüglich $i^{t_{\varkappa }}\varkappa$, $i^{t_{\pi }}\pi$ einsetzen und erhalten dann den folgenden Satz:

Wenn $\varkappa$ und $\pi$ von $1+i$ verschiedene Primzahlen und bezüglich $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ bezüglich $\equiv (t_{\pi }t'_{\pi })$ nach $(l+i)^{4}$ sind, so gilt das Reziprozitätsgesetz

$\left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=(-1)^{t_{\varkappa }t'_{\pi }+t'_{\varkappa }t_{\pi }}$.

Wir definieren nun das allgemeine Symbol $\textstyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]$, wo $\textstyle \alpha =\prod \limits ^{\varkappa }\varkappa$ und $\textstyle \beta =\prod \limits ^{\pi }\pi$ zwei beliebige zueinander und zu $1+i$ prime Zahlen sind, durch die Gleichung

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]=\prod \limits ^{\varkappa ,\,\pi }\left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]$;

hierin ist das Produkt über alle Primfaktoren $\varkappa$ und $\pi$ der beiden Zahlen $\alpha$ bezüglich $\beta$ zu erstrecken, wie sie in der Produktdarstellung von $\alpha$ bezüglich $\beta$ vorkommen. Es folgt dann unmittelbar der Satz:

Wenn $\alpha$ und $\beta$ beliebige zueinander und zu $1+i$ prime ganze Zahlen sind und $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha })$^{[WS 1]}, $\beta \equiv (t_{\beta }t'_{\beta })$ nach $(1+i)^{4}$ gesetzt wird, so ist

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\beta }+t'_{\alpha }t_{\beta }}$.

Diese Formel setzt uns in den Stand die Bedingung anzugeben, welche in einem beliebigen Dirichletschen Körper zwischen den $c$ Chakakteren bestehen muß, damit dieselben das Charakterensystem eines existierenden Geschlechtes bilden.

Wir nehmen zunächst an, daß $\delta$ nicht durch $1+i$ teilbar sei und setzen dann in obiger Formel $\alpha =\delta$ und $\beta =\nu$, wo $\nu$ eine zu $\delta$ und zu $1+i$ prime Partialnorm eines Ideals im Körper $K_{\delta }$ bedeutet. Da dann nach § 2 die Zahl $\delta$ von allen in $\nu$ zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so ist $\textstyle \left[{\frac {\delta }{\nu }}\right]=+1$ und folglich wird

$\left[{\frac {\nu }{\delta }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$.

Ist nun $\delta \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$, so wird die Partialdiskriminante $d=\delta$ und wenn wir daher sämtliche in derselben aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnen, so wird

$\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}}}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}}}\right]=\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.

Ist dagegen $\delta$ nicht $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$, so kommt $1+i$ in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ als Faktor vor. Wir bezeichnen dann die in

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: $a\equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha })$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/63&oldid=- (Version vom 31.7.2018)