L. Kronecker hat in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom Jahre 1853 zuerst den fundamentalen Satz aufgestellt, daß die Wurzeln aller Abelschen Gleichungen im Bereich der rationalen Zahlen sich durch Einheitswurzeln rational ausdrücken lassen. Bezeichnet man diejenigen Zahlkörper, die durch Einheitswurzeln bestimmt sind, und alle Unterkörper von solchen Körpern kurz als Kreiskörper, so spricht sich der genannte Satz wie folgt aus:
Fundamentalsatz. Alle Abelschen Zahlkörper im Gebiete der rationalen Zahlen sind Kreiskörper.
H. Weber hat in den Acta Mathematica Bd. 8 einen vollständigen und allgemeinen Beweis dieses Satzes erbracht. Die vorliegende Note enthält einen neuen Beweis, welcher weder die Kummersche Zerlegung der Lagrangeschen Resolvente in Primideale noch die Anwendung der dem Wesen des Satzes fremdartigen transzendenten Methoden von Dirichlet erfordert. Der folgende Beweis ist vielmehr rein arithmetischer Natur; er beruht wesentlich auf den allgemeinen Begriffsbildungen, die ich in der Note „Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers“[2] in diesen Nachrichten vom Jahre 1894 kurz dargelegt habe und ist vermutlich weitgehender Verallgemeinerungen fähig.
Wenn die Gruppe eines Abelschen Körpers aus den Potenzen einer einzigen Substitution besteht, so heiße der Abelsche Körper zyklisch. Wir konstruieren folgende besonderen zyklischen Körper. Es bedeute eine ungerade Primzahl und eine Potenz derselben; dann ist der durch bestimmte Körper ein zyklischer Körper vom -ten Grade.
- ↑ Hierzu siehe auch die entsprechenden Stellen im „Zahlbericht“, dieser Band Abh. 7, S. 205–216.
- ↑ Dieser Band Abh. 4, S. 13.
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 53. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/70&oldid=- (Version vom 31.7.2018)
