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	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

Ebenso wie in der Lagrangeschen Mechanik können die oben beschriebenen Verhältnisse auch in der Hamiltonschen Mechanik ausgedrückt werden (wir bezeichnen mit $[ab]$ die Vertauschung: $ab-ba$).

Im allgemeinen enthält die Hamiltonfunktion $H$ des Feldes die Energie $H_{0}$ des Lichts und die Energie $H'$ der Materie. Die Feldpotentiale ${\mathfrak {A}}$ sind mit $H'$ vertauschbar und darum ist ${\mathfrak {E=D}}$:

${\begin{aligned}&H=H_{0}({\mathfrak {A}},{\mathfrak {D}})+H'(\mathrm {Materie} ),\\&H_{0}=\int {\frac {(\mathrm {rot} {\mathfrak {A}})^{2}+{\mathfrak {D}}^{2}}{8\pi }}dV,\end{aligned}}$

${\mathfrak {D}}$ zu ${\mathfrak {A}}$ konjugiert (2,6), ${\mathfrak {D}}$ und ${\mathfrak {A}}$ mit $H'$ vertauschbar,

${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}&=-{\frac {1}{c}}{\mathfrak {\dot {A}}}=-{\frac {i}{c\hbar }}[H{\mathfrak {A}}]\\&=-{\frac {i}{c\hbar }}[H_{0}{\mathfrak {A}}]={\mathfrak {D}},\end{aligned}}$

also ${\mathfrak {E}}={\mathfrak {D}}$.

Im allgemeinen enthält die Hamiltonfunktion $H$ des Moleküls die Energie $H_{0}$ der Kerne und die Energie $H'$ der Elektronen. Die Kernkoordinaten $q_{i}$ sind mit $H'$ vertauschbar und darum ist $m{\dot {q}}_{i}=p_{i}$:

${\begin{aligned}H&=H_{0}\left(q_{i}p_{i}\right)+H'(\mathrm {Elektronen} ),\\&H_{0}=\sum \limits _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+\mathrm {Funkt} \left(q_{i}\right),\end{aligned}}$

$p_{i}$ zu $q_{i}$ konjugiert, $dhp_{i}q_{i}-q_{i}p_{i}={\tfrac {\hbar }{i}}$, $q_{i}$ vertauschbar mit $H'$,

${\begin{aligned}m{\dot {q}}_{i}&={\frac {mi}{\hbar }}\left[Hq_{i}\right]\\&={\frac {mi}{\hbar }}\left[H_{0}q_{i}\right]=p_{i},\end{aligned}}$

also $m{\dot {q}}_{i}=p_{i}$.

Im speziellen Fall aber, in dem keine wirkliche Materie erzeugt wird, kann die Energie der Elektronen durch eine Wechselwirkung der Lichtquanten $H_{1}({\mathfrak {AD}})$ ersetzt werden. Diese ist aber jetzt nicht mit den Feldpotentialen ${\mathfrak {A}}$ vertauschbar und daher ist ${\mathfrak {E\neq D}}$:

(2,22)

$H=H_{0}({\mathfrak {AD}})+H_{1}({\mathfrak {AD}})$,

${\mathfrak {D}}$ zu ${\mathfrak {A}}$ konjugiert (2,6),

(3,21)

$\left\{{\begin{aligned}{\mathfrak {E}}&=-{\frac {1}{c}}{\mathfrak {\dot {A}}}=-{\frac {i}{c\hbar }}[H{\mathfrak {A}}]\\&=-{\frac {i}{c\hbar }}[H_{0}{\mathfrak {A}}]\\&-{\frac {i}{c\hbar }}[H_{1}{\mathfrak {A}}]={\mathfrak {D}}+\dots ,\end{aligned}}\right.$

also ${\mathfrak {E\neq D}}$.

Im speziellen Fall aber, in dem die Atome nicht wirklich angeregt werden, kann die Energie der Elektronen durch die van der Waals-Kraft zwischen den Kernen $H_{1}\left(q_{i}p_{i}\right)$ ersetzt werden. Diese ist aber jetzt nicht mit den Kernkoordinaten vertauschbar und darum ist $m{\dot {q}}\neq p$:

$H=H_{0}\left(p_{i}q_{i}\right)+H_{1}\left(p_{i}q_{i}\right)$

$p_{i}$ zu $q_{i}$ konjugiert,

$dhp_{i}q_{i}-q_{i}p_{i}={\frac {\hbar }{i}}.$

${\begin{aligned}m{\dot {q}}_{i}&={\frac {mi}{\hbar }}\left[Hq\right]={\frac {mi}{\hbar }}\left[H_{0}q_{i}\right]\\&+{\frac {mi}{\hbar }}\left[H_{1}q_{i}\right]=p+\dots ,\end{aligned}}$

also $m{\dot {q}}\neq p$.

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 410. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/15&oldid=- (Version vom 1.8.2018)