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	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

§ 4. Allgemeines Störungsschema, das zur Berechnung der Streuung von Licht an Licht verwandt wird

In einem abgeschlossenen System mit den annähernd stationären Zuständen $i$, $k$, $l$, $m$, $n$, $\mu$, $\mu '$, die die Energien $E_{i}$, $E_{k}$, $\dots$ und die Besetzungswahrscheinlichkeiten $\left|a_{i}\right|^{2}$, $\left|a_{k}\right|^{2}$, $\dots$ haben, ruft eine Störung mit der zeitunabhängigen Energiematrix $V_{ik}$ die Zustandsänderungen:

(4,1)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{a_{\mu }}^{\prime }(t)=\sum \limits _{\mu }e^{{\frac {i}{h}}(E\mu '-E\mu )t}V_{\mu \mu '}a_{\mu }(t)$

hervor. ($t$: Zeit, $h=2\pi \hbar$: Plancksches Wirkungsquantum). Entwickelt man die Störung $V$ und die Zustände $a_{\mu }$ nach einem kleinen Parameter:

(4,2)

$\left\{{\begin{aligned}V&=\qquad V^{1}+V^{2}+V^{3}+V^{4}+\dots \\a_{\mu }&={a_{\mu }}^{0}+{a_{\mu }}^{1}+{a_{\mu }}^{2}+{a_{\mu }}^{3}+{a_{\mu }}^{4}+\dots ,\end{aligned}}\right.$

und setzt voraus, daß zu Anfang der Zustand $i$ verwirklicht sei $\left({a_{\mu }}^{0}(t)=\delta _{i\mu },\ {a_{\mu }}^{\alpha }(0)=0\ {\mbox{für}}\ \alpha \geqslant 1\right)$, so folgt in 1. Näherung:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{a_{k}}^{1}(t)=\sum \limits _{\mu }e^{{\frac {i}{\hbar }}(E_{k}-E_{\mu })t}V_{\mu k}{a_{\mu }}^{0}(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(E_{k}-E_{i})t}V_{ik}$,

integriert:

(4,3)

${a_{k}}^{1}(t)=\left({\frac {e^{{\frac {i}{\hbar }}(E_{k}-E_{i})t}-1}{E_{i}-E_{k}}}\right)\cdot V_{ik}$

Der zweite Faktor dieser Näherung ist das Matrixelement der Störung $V^{1}$ für den Übergang $i\rightarrow k$. Der erste Faktor ist nur beträchtlich innerhalb des Ungenauigkeitsbereichs $\left|E_{k}-E_{i}\right|\lesssim {\frac {h}{t}}$. D. h. für kleine $t$ ist $a^{1}(t)$ immer von Bedeutung, für große $t$ aber nur, falls das System unter Energieerhaltung $E_{i}=E_{k}$ vom Zustande $i$ in den Zustand $k$ übergehen kann.

Eine Übergangswahrscheinlichkeit $i\rightarrow k$ erster Ordnung

$\left(\left|a^{1}(t)\right|^{2}\neq 0\ {\mbox{für große}}\ t\right)$

besteht also nur, wenn $V_{ik}\neq 0$ und $E_{i}=E_{k}$ ist.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, berechnet man in bekannter Weise nach Dirac die gesamte Übergangswahrscheinlichkeit $i\rightarrow k$ zu:

(4,4)

${\frac {1}{t}}\sum \limits _{k'\sim k}\left|a_{k'}(t)\right|^{2}\approx {\frac {1}{t}}\left|V_{ik}^{1}\right|^{2}\cdot {\frac {1}{\Delta E}}\cdot \int \limits _{-\infty }^{+\infty }2{\frac {1-\cos \left(E_{k'}-E_{i}\right){\frac {t}{\hbar }}}{\left(E_{i}-E_{k'}\right)^{2}}}dE_{k'}={\frac {2\pi }{\hbar }}\cdot {\frac {1}{\Delta E}}\cdot \left|V_{ik}^{1}\right|^{2}$,

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 412. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/17&oldid=- (Version vom 1.8.2018)