Seite:Hans Euler Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie 1936.pdf/30

	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

(7,2)

$\left\{{\begin{aligned}H_{in}^{4}&={\frac {e^{4}}{16c^{3}h^{3}}}\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\int dV\left[{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}+{\frac {{\mathfrak {g}}^{1}}{mc}}{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}+\cdots +\right.\\&\left.+{\frac {{\mathfrak {g}}^{1}}{mc}}{\frac {g^{2}}{mc}}{\frac {{\mathfrak {g}}^{3}}{mc}}{\frac {{\mathfrak {g}}^{4}}{mc}}{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}+\cdots \right]+V_{in}^{4}\\&={\frac {e^{4}}{16c^{3}h^{3}}}\sum \limits _{\mathrm {Perm} }\int dV\left[{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}+\left({\frac {\hbar }{mc}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}\right){\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}+\cdots \right.\\&\left.+\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{4}\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\underset {g^{1}}{\mathfrak {A}}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\underset {g^{2}}{\mathfrak {A}}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\underset {g^{3}}{\mathfrak {A}}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\underset {g^{4}}{\mathfrak {A}}}\right)+\cdots \right]+V_{in}^{4}\\&=\left(g^{1}g^{2}\left|\int U_{1}dV\right|-g^{3}-g^{4}\right)\ {\textrm {mit}}\\U_{1}&={\frac {e^{4}}{16c^{3}h^{3}}}\left[{\mathfrak {AAAA}}+{\frac {\hbar }{mc}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}{\mathfrak {AAA}}+\cdots \right.\\&\left.+\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{4}\left({\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)+\cdots \right].\end{aligned}}\right.$

Darin ist das Heisenbergsche Glied

${\begin{aligned}V^{4}={\frac {-1}{12\pi ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)^{2}{\frac {1}{\hbar c}}\lim \limits _{{\mathfrak {r}}\rightarrow 0}\int {\frac {\left({\mathfrak {A}}(\xi )\cdot {\mathfrak {r}}\right)^{4}}{|{\mathfrak {r}}|^{4}}}dV\qquad \\\rightarrow -{\frac {1}{12\pi ^{2}}}{\frac {e^{4}}{\hbar ^{3}c^{3}}}\cdot {\frac {1}{5}}\int ({\mathfrak {AA}})({\mathfrak {AA}})dV\end{aligned}}$

mit enthalten, wenn man die Limesbildung ${\mathfrak {r}}\rightarrow 0$ durch Winkelmittelung über ${\mathfrak {r}}$ ausführt.

c) Die Glieder, Welche die Potentiale ${\mathfrak {A}}$ direkt enthalten und sich nicht durch Feldstärken $F_{ik}$ ausdrücken lassen, also (u. a.) die Entwicklungsglieder nullter, 1., 2., 3. Ordnung nach Lichtfrequenzen müssen verschwinden.

Denn da die Voraussetzungen, von denen diese Rechnungen ausgehen, eichinvariant sind, müssen es auch die Resultate sein, d. h. es können nur die Kombinationen aus den Ableitungen der Potentiale vorkommen, welche Feldstärken oder Ableitungen von Feldstärken bedeuten.

Das Verschwinden des nullten Entwicklungsgliedes von $H_{in}^{4}$ nach $g^{i}/mc$, welches durch Kompensation mit dem Heisenbergschen Glied $V_{in}^{4}$ zustande kam, ist damit aus den Forderungen der Eichinvarianz verständlich, welche ja auch der Grund für das Glied $V^{4}$ war. Das Verschwinden der 1., 2. und 3. Ordnung in der Entwicklung nach $g^{i}/mc$ soll später (§ 9) für die 1. Ordnung allgemein, für die 2. und 3. Ordnung an einigen Spezialfällen durch direktes Ausrechnen bestätigt werden.

Also bleibt von unserem Ausdruck (7,2) nur

${\begin{aligned}U_{1}&={\frac {e^{4}}{16c^{3}h^{3}}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{4}\left[\left({\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)\right.\\&\left.+\left({\frac {\hbar }{mc}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial x}}\right)\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right)+\cdots \right].\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 425. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/30&oldid=- (Version vom 1.8.2018)