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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

wobei es aber nötig sein kann, die willkürlichen $p(x)$ noch von $t$ abhängig anzunehmen. ${\mathfrak {G}}$ hängt also tatsächlich von $\varrho$ willkürlichen Funktionen ab; genügt es insbesondere, $p(x)$ von $t$ frei anzunehmen, so wird diese Abhängigkeit analytisch in den willkürlichen Funktionen $q(x)=t\cdot p(x)$^[1]. Treten Ableitungen ${\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ auf, so kann es nötig sein, noch infinitesimale Transformation ${\bar {\delta }}u=0,\ \mathrm {Div} (f\cdot \Delta x)=0$ zuzufügen, ehe man dieselben Schlüsse macht.

Es sei im Anschluß an ein Liesches Beispiel (Grundlagen, § 7) noch ein ziemlich allgemeiner Fall angegeben, wo man bis zu expliziten Formeln vordringen kann, die zugleich zeigen, daß die Ableitungen der willkürlichen Funktionen bis zur $\sigma$-ten Ordnung auftreten; wo die Umkehrung also vollständig ist. Es sind das solche Gruppen infinitesimaler Transformationen, denen die Gruppe aller Transformationen der $x$ und dadurch „induzierter“ Transformationen der $u$ entspricht; d. h. solche Transformationen der $u$, bei denen $\Delta u$ und folglich $u$ nur von den in $\Delta x$ auftretenden willkürlichen Funktionen abhängen; wobei noch angenommen sei, daß die Ableitungen ${\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ in $\Delta u$ nicht auftreten. Man hat also:

$\Delta x_{i}=p^{(i)}(x);\ \Delta u_{i}=\sum \limits _{\lambda =1}^{n}\left\{a^{(\lambda )}(x,u)p^{(\lambda )}+b^{(\lambda )}{\frac {\partial p^{(\lambda )}}{\partial x}}+\dots +c^{(\lambda )}{\frac {\partial ^{\sigma }p^{(\lambda )}}{\partial x^{\sigma }}}\right\}.$

Da die infinitesimale Transformation $\Delta x=p(x)$ jede Transformation $x=y+g(y)$ mit willkürlichem $g(y)$ erzeugt, läßt sich insbesondere $p(x)$ so von $t$ abhängig bestimmen, daß die eingliedrige Gruppe erzeugt wird:

(18)	$x_{i}=y_{i}+t\cdot g_{i}(y),$

die für $t=0$ in die Identität, für $t=1$ in die gesuchte $x=y+g(y)$ übergeht. Durch Differentiation von (18) folgt nämlich:

(19)	${\frac {dx_{i}}{dt}}=g_{i}(y)=p^{(i)}(x,t),$

wo sich $p(x,t)$ aus $g(y)$ durch Umkehrung von (18) bestimmt; und umgekehrt entsteht (18) aus (19) vermöge der Nebenbedingung $x_{i}=y_{i}$ für $t=0$, durch die das Integral eindeutig festgelegt ist. Vermöge (18) lassen sich in $\Delta u$ die $x$ durch die „Integrationskonstanten“ $y$ und durch $t$ ersetzen; dabei treten die $g(y)$ genau

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1. Die Frage, ob etwa immer dieser letztere Fall eintritt, ist in anderer Formulierung von Lie aufgeworfen worden (Grundlagen, § 7 und § 13 Schluß).

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 248. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/14&oldid=- (Version vom 1.8.2018)