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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

folgt daraus die Invarianz von $I$ gegenüber einer ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$. Der Satz gilt auch noch im Grenzfall von unendlich vielen Parametern.

II. Ist das Integral $I$ invariant gegenüber einer ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$, in der die willkürlichen Funktionen bis zur $\sigma$ten Ableitung auftreten, so bestehen $\varrho$ identische Relationen zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen bis zur $\sigma$ten Ordnung; auch hier gilt die Umkehrung^[1].

Für die gemischten Gruppen gelten die Aussagen beider Sätze es treten also sowohl Abhängigkeiten wie davon unabhängige Divergenzrelationen auf.

Geht man von diesen Identitäten zu dem zugehörigen Variationsproblem über, setzt also $\psi =0$^[2], so sagt Satz I im eindimensionalen Fall — wo die Divergenz in ein totales Differential übergeht — die Existenz von $\varrho$ ersten Integralen aus, zwischen denen allerdings nichtlineare Abhängigkeiten bestehen können^[3]; im mehrdimensionalen Fall erhält man die neuerdings oft als „Erhaltungssätze“ bezeichneten Divergenzgleichungen; Satz II sagt aus, daß $\varrho$ der Lagrangeschen Gleichungen eine Folge der übrigen sind.

Das einfachste Beispiel zu Satz II — ohne Umkehrung — bildet die Weierstraßsche Parameterdarstellung; hier ist das Integral bei Homogenität erster Ordnung bekanntlich invariant, wenn man die unabhängige Variable $x$ durch eine willkürliche Funktion von $x$ ersetzt, die $u$ ungeändert läßt $\left(y=p(x);\ v_{i}(y)=u_{i}(x)\right)$. Es tritt also eine willkürliche Funktion, aber ohne Ableitungen auf; und dem entspricht die bekannte lineare Relation zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken selbst: $\sum \psi _{i}{\frac {du_{i}}{dx}}=0.$ Ein weiteres Beispiel bietet die „allgemeine Relativitätstheorie“ der Physiker; es handelt sich hier um die Gruppe aller Transformationen der $x:y_{i}=p_{i}(x)$, während die $u$ (als $g_{\mu \nu }$ und $q$ bezeichnet) den dadurch für die Koeffizienten einer quadratischen und linearen Differentialform induzierten Transformationen unterworfen werden, Transformationen, die die ersten Ableitungen der willkürlichen Funktionen $p(x)$ enthalten. Dem entsprechen die bekannten $n$ Abhängigkeiten zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren ersten Ableitungen^[4].

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1. Für gewisse triviale Ausnahmefälle vergl. § 2, 2. Anmerkung.
2. Etwas allgemeiner kann man auch $\psi _{i}=T_{i}$, setzen, vergl. § 3, erste Anmerkung.
3. Vergl. den Schluß von § 3.
4. Vergl. etwa die Kleinsche Darstellung.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 239. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)