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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

die partielle Integration zeigt, sind diese Randglieder Integrale über Divergenzen, d. h. über Ausdrücke

$\mathrm {Div} A={\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{1}}}+\dots +{\frac {\partial A_{n}}{\partial x_{n}}},$

wobei $A$ linear in $\delta u$ und seinen Ableitungen ist. Somit kommt:

(3)	$\sum \psi _{i}\delta u_{i}=\delta f+\mathrm {Div} A.$

Enthält $f$ insbesondere nur erste Ableitungen der $u$, so ist im Fall des einfachen Integrals die Identität (3) identisch mit der von Heun sogenannten „Lagrangeschen Zentralgleichung“:

(4)	$\sum \psi _{i}\delta u_{i}=\delta f-{\frac {d}{dx}}\left(\sum {\frac {\partial f}{\partial u'_{i}}}\delta u_{i}\right),\qquad \left(u_{i}'={\frac {du_{i}}{dx}}\right),$

während für das $n$-fache Integral (3) übergeht in:

(5)	$\sum \psi _{i}\delta u_{i}=\delta f-{\frac {d}{dx_{1}}}\left(\sum {\frac {\partial f}{\partial {\dfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}}}\delta u_{i}\right)-\dots -{\frac {d}{dx_{n}}}\left(\sum {\frac {\partial f}{\partial {\dfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{n}}}}}\delta u_{i}\right).$

Für das einfache Integral und $\varkappa$ Ableitungen der $u$ ist (3) gegeben durch:

(6)	$\sum \psi _{i}\delta u_{i}=\delta f-$

$-{\frac {d}{dx}}\left\{\sum \left(\left({1 \atop 1}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(1)}}}\delta u_{i}+\left({2 \atop 1}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(2)}}}\delta u_{i}^{(1)}+\dots +\left({\varkappa \atop 1}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(\varkappa )}}}\delta u_{i}^{(\varkappa -1)}\right)\right\}+$

$+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left\{\sum \left(\left({2 \atop 2}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(2)}}}\delta u_{i}+\left({3 \atop 2}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(3)}}}\delta u_{i}^{(1)}+\dots +\left({\varkappa \atop 2}\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(\varkappa )}}}\delta u_{i}^{(\varkappa -2)}\right)\right\}+\dots$

$\qquad \vdots \qquad \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots$

$+(-1)^{\varkappa }{\frac {d^{\varkappa }}{dx^{\varkappa }}}\left\{\sum \left({\varkappa \atop \varkappa }\right){\frac {\partial f}{\partial u_{i}^{(\varkappa )}}}\delta u_{i}\right\}$

und eine entsprechende Identität gilt beim $n$-fachen Integral; $A$ enthält insbesondere $\delta u$ bis zur $\left(\varkappa -1\right)$ten Ableitung. Daß durch (4), (5), (6) tatsächlich die Lagrangeschen Ausdrücke $\psi _{i}$ definiert sind, folgt daraus, daß durch die Kombinationen der rechten Seiten alle höheren Ableitungen der $\delta u$ eliminiert sind, während andererseits die Relation (2) erfüllt ist, zu der die partielle Integration eindeutig führt.

Es handelt sich nun im folgenden um die beiden Sätze:

I. Ist das Integral $I$ invariant gegenüber einer ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$, so werden $\varrho$ linear-unabhängige Verbindungen der Lagrangeschen Ausdrücke zu Divergenzen — umgekehrt

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 238. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)