Fällt nämlich der Punkt p auf die gerade Linie, durch welche je zwei der vier Punkte A, B, C, D mit einander verbunden werden, so verwandelt sich der Kegelschnitt in zwei gerade Linien, von denen eine diejenige ist, auf welcher der Punkt p liegt, die andere diejenige, welche die beiden andern Punkte mit einander verbindet.
Sind die gegenüberstehenden Winkel des Vierecks Supplementswinkel, und die Linien PQ, PR, PS, PT entweder senkrecht, oder unter beliebigen aber gleichen Winkeln gezogen und
so ist der Kegelschnitt ein Kreis. Dasselbe findet statt, wenn die vier Linien unter beliebigen Winkeln gezogen werden, und
wo P, Q, R, S die Winkel sind, welche die vier Linien mit den vier Seiten bilden.[1]
In den übrigen Fällen ist der Ort des Punktes P eine der drei Figuren, welche man gewöhnlich Kegelschnitte nennt. Anstatt des Vierecks ABDC kann man auch ein anderes substituiren, dessen zwei gegenüberliegende Seiten sich überzwerch schneiden.
Ferner können von den vier Punkten A, B, C, D einer oder zwei sich in unendlicher Entfernung befinden; alsdann werden diejenigen Seiten, welche nach jenen Punkten hin convergiren, parallel. In diesem Falle geht der Kegelschnitt durch die übrigen Punkte und dehnt sich nach der Seite der Parallelen zu ins Unendliche aus.
§. 48. Lehnsatz. Den Punkt P so zu bestimmen, dass, wenn man von ihm nach den vier, der Lage nach gegebenen, Linien
die vier Linien
zieht, alsdann das Verhältniss
ein gegebenes constantes werde.
Die Linien AB und CD, nach denen die beiden, das eine Rechteck bildenden, PQ und PR gezogen werden, mögen mit den beiden andern gegebenen Linien in den Punkten A, B, C, D zusammentreffen. Von einem derselben, etwa A, ziehe man die beliebige Linie AH, auf welcher der Punkt P gefunden werden soll und sie mag die Linie CD in J, die BD in H schneiden. Da alle Winkel der Figur gegeben sind, kennt man die Verhältnisse
folglich auch das
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Fig. 236. No. 28 S. 92. Ist ABDC das gegebene Viereck, und A + D = 180°, B + C = 180°, PQ AC, ST AB; so hat man in diesem Falle PQ · PR = PS · PT. Sind nun Pg, Pr, Ps, Pt respective perpendikulär auf AB, CD, AC, BD; so wird S = A = Q; sin R = sin SCD = sin B = sin T, mithin
PQ sin Q · PR sin R = PS sin S · PT sin T und entweder
PQ · PR : PS · PT = sin S · sin T : sin Q sin R oder
Pq · Pr = Ps · Pt.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 92. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/100&oldid=- (Version vom 26.11.2022)
