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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

indem er über die Länge AB fortgeführt wird, das Rechteck

2LS · AB.

Der unbestimmte Theil LD beschreibt, indem er in stetiger Bewegung über dieselbe Länge so fortgeführt wird, dass bei der Zu- oder Abnahme die Ordinate stets = LD bleibe, die Fläche

$\scriptstyle {\frac {LB^{2}-LA^{2}}{2}}$^[1] = LS · AB.

Subtrahirt man dieselbe von der vorhergehenden Fläche 2 · LS · AB, so bleibt die Fläche

LS · AB

übrig.

Der dritte Theil $\scriptstyle {\frac {AL\cdot LB}{LD}}$ wird, wenn er ebenso perpendikulär über dieselbe Lange AB fortgeführt wird, eine hyperbolische Fläche^[2] beschreiben, welche von der Fläche

LS · AB

abgezogen werden muss, damit die gesuchte Fläche ABNA übrig bleibe.

Fig. 114.

Es ergiebt sich daher folgende Construction der Aufgabe.

In den Punkten L, A, und B errichte man die Perpendikel

Ll Aa = LB Bb = LA,

zu LI und LB als Asymptoten beschreibe man durch die Punkte a und b die Hyperbel acb und ziehe die Sehne ab. Alsdann ist die Fläche

acba = ABNA.

Zweites Beispiel. Verhält sich die nach den einzelnen Theilen der Kugel gerichtete Centripetalkraft umgekehrt wie der Cubus des Abstandes, oder was dasselbe ist,

indirect wie dieser Cubus und

direct wie eine constante Fläche;

so setze man

V = $\scriptstyle {\frac {PE^{3}}{2\cdot AS^{2}}}$

und wie vorhin

PE² = 2PS · LD.

Alsdann wird DN proportional

2.   $\scriptstyle {\frac {LS\cdot LD\cdot PS}{PE\cdot {\frac {PE^{3}}{2\cdot AS^{2}}}}}-{\frac {LD^{2}\cdot PS}{PE\cdot {\frac {PE^{3}}{2\cdot AS^{2}}}}}-{\frac {LA\cdot LB\cdot PS}{PE\cdot {\frac {PE^{3}}{2\cdot AS^{2}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {LS\cdot AS^{2}}{PS\cdot LD}}-{\frac {AS^{2}}{2\cdot PS}}-{\frac {LS\cdot LB\cdot AS^{2}}{2\cdot PS\cdot LD^{2}}}$

d. h. weil

PS : AS = AS : SJ, also $\scriptstyle {\frac {AS^{2}}{PS}}$ = SJ $\scriptstyle {\frac {LS\cdot SJ}{LD}}$ — ½JS — $\scriptstyle {\frac {LA\cdot LB\cdot SJ}{2LD^{2}}}$.

---

1. 

   Fig. 241.

   No. 57. S. 205. Im Punkte A wird AL^I = AL, im Puncto D wird DL^II = DL, im Puncte B wird BL^III = BL und die beschriebene Fläche

   AL^IL^IIIB = $\scriptstyle {\frac {BL^{III}+AL^{I}}{2}}$ · AB $\scriptstyle ={\frac {(BL+AL)(BL-AL)}{2}}={\frac {BL^{2}-AL^{2}}{2}}$.

   Dasselbe ergiebt sich auch kurz folgendermassen, indem man die unbestimmte Ordinate L^II D = y und nach der Voraussetzung = der Abscisse LD = x setz. Hiernach wird die beschriebene Fläche

   = $\scriptstyle \int \limits _{LB}^{LA}$ xdx = ½(LB² - LA²).
2. No. 58. S. 205. Dass hier eine hyperbolische Fläche und zwar zwischen den Asymptoten entstehe, ersieht man daraus, dass LA · LB constant, also = a² zu setzen ist. Bezeichnet man nun DL durch x, so wird die Ordinate y = $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{x}}$ und die Fläche $\scriptstyle \int \limits _{LA}^{LB}{\frac {a^{2}dx}{x}}=a^{2}\log \left({\frac {LB}{LA}}\right)$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 205. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/213&oldid=- (Version vom 1.8.2018)