Seite:NewtonPrincipien.djvu/216

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Verhalten sich die Kräfte einzelner Theile der Kugel umgekehrt wie die Quadrate der Entfernungen, so schliesst man auf ähnliche Weise, dass die Anziehung in J sich zu der in P verhält, wie

SP : SA.^[1]

Verhalten sich jene Kräfte umgekehrt wie die Cuben der Entfernungen, so erhält man das gegenseitige Verhältniss der Anziehungen in J und P

= SP² : SA².^[2]

Verhalten sich die Kräfte umgekehrt wie die Biquadrate der Entfernungen, so ergiebt sich das zusammengesetzte Verhältniss

SP³ : SA³.^[3]

In diesem letztem Falle verhält sich nun die Anziehung im Punkt P umgekehrt wie SP³ · PJ (§. 126., drittes Beispiel), also direct wie

$\scriptstyle {\frac {1}{SP^{3}\cdot PJ}}$;

mithin wird die Anziehung im Punkt J proportional

$\scriptstyle {\frac {SP^{3}}{SA^{3}}}\cdot {\frac {1}{SP^{3}\cdot PJ}}={\frac {1}{SA^{3}\cdot PJ}}$,

d. h. (weil SA³ constant ist) umgekehrt PJ proportional. Auf ähnliche Weise kann man in’s Unendliche fortfahren.

Der Lehrsatz wird folgendermassen bewiesen.

Bei der vorhergehenden Construction befinde sich der Körper im beliebigen Punkte P, alsdann ist die Ordinate DN proportional

1.   $\scriptstyle {\frac {DE^{2}\cdot PS}{PE\cdot V}}$ (§. 126.)

Zieht man nun JE, so erhält man für die dem Punkte J entsprechende Ordinate, mutatis mutandis, das Verhältniss

2.   $\scriptstyle {\frac {DE^{2}\cdot JS}{JE\cdot V}}$.

Gesetzt aber, die aus dem beliebigen Punkte E hervorgehenden Centripetalkräfte verhielten sich in den Abständen JE und PE zu einander, wie

PEⁿ : JEⁿ

(wo n der Exponent von PE und JE ist); alsdann werden jene Ordinaten proportional

$\scriptstyle {\frac {DE^{2}\cdot PS}{PE\cdot PE^{n}}}$ und $\scriptstyle {\frac {DE^{2}\cdot JS}{JE\cdot JE^{n}}}$.

Zu einander verhalten sich daher beide Ordinaten wie

3.   PS · JE · JEⁿ : JS · PE · PEⁿ.

Es ist aber

Δ SPE ∼ SEJ^[4]

also

JE : PE = JS : SE = JS : SA

und

4.   PE · JS = JE · SA.

Substituirt man diesen Werth von PE · JS. in 3., so wird das vorige Verhältniss

5.   PS · JEⁿ : SA : PEⁿ.

Es ist aber

PS : SA = $\scriptstyle {\sqrt {PS}}:{\sqrt {SJ}}$,

ferner

JEⁿ : PEⁿ,

das halbe Verhältniss der Kräfte in den Abständen PS und JS.^[5] Mithin verhalten sich die Ordinaten, folglich auch die durch diese Ordinaten

---

1. No. 63. S. 208. (Fig. 116.) Die beiden einzelnen Verhältniss sind hier $\scriptstyle {\sqrt {JS}}:{\sqrt {PS}}$ und$\scriptstyle {\frac {1}{JS}}:{\frac {1}{PS}}$, das zusammengesetzte also $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {JS}}}:{\frac {1}{\sqrt {PS}}}={\sqrt {PS}}:{\sqrt {JS}}=PS:{\sqrt {JS\cdot PS}}=PS:AS$ (§. 126.)
2. No. 64. S. 208. Wir haben in diesem Falle die einzelnen Verhältnisse $\scriptstyle {\sqrt {JS}}:{\sqrt {PS}}$ und $\scriptstyle {\frac {1}{JS^{\frac {3}{2}}}}:{\frac {1}{PS^{\frac {3}{2}}}}$, als das zusammengesetzte $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {JS}}}:{\frac {1}{\sqrt {PS}}}$ = PS : JS = PS² : AS².
3. No. 65. S. 208. Aus $\scriptstyle {\sqrt {JS}}:{\sqrt {PS}}$ und $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {JS^{2}}}}:{\frac {1}{\sqrt {PS^{2}}}}$ folgt durch Zusammensetzung $\scriptstyle {\frac {1}{JS^{\frac {3}{2}}}}:{\frac {1}{PS^{\frac {3}{2}}}}=PS^{\frac {3}{2}}:JS^{\frac {3}{2}}=PS^{3}:(PS\cdot JS)^{\frac {3}{2}}=PS^{3}:AS^{3}$.
4. No. 66. S. 208. Es ist Δ SPE ∼ SEJ, weil JS : SH = SH : PS d. h. JS : SE = SE : PS und $\scriptstyle \angle$ JSE = PSE.
5. No. 67. S. 208. Es ist nämlich JE : PE = JS : SA = SA : PS = JS^½ : PS^½ mithin JEⁿ : PEⁿ = $\scriptstyle JS^{\frac {n}{2}}:PS^{\frac {n}{2}}$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 208. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/216&oldid=- (Version vom 21.11.2018)