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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

3. HJ — HN =

\scriptstyle {\frac {MJ\cdot NJ}{HJ}}

^[1],

und sie erzeugt daher nur die Geschwindigkeit

4.

\scriptstyle {\frac {2MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}

Addirt man diese zum oben in 1. aufgeführten Decrement, so erhält man das, aus dem Widerstande allein entspringende, Decrement der Geschwindigkeit gleich

5.

\scriptstyle {\frac {GH}{T}}-{\frac {HJ}{t}}+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}

.

Da ferner die Schwere während derselben Zeit im fallenden Körper die Geschwindigkeit $\scriptstyle {\frac {2NJ}{t}}$ erzeugt, so verhält sich der Widerstand zur Schwere wie

6.

\scriptstyle {\frac {GH}{T}}-{\frac {HJ}{t}}+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}:{\frac {2\cdot NJ}{t}}={\frac {t\cdot GH}{T}}-HJ+{\frac {2MJ\cdot NJ}{HJ}}:2\cdot NJ

Setzt man nun die Abscissen

7.
die Ordinate

{\begin{cases}\scriptstyle CB=-\xi ,\ CD=\xi ,\ CE=2\xi \\\scriptstyle CH=P\end{cases}}

und beliebig

8. MJ = Qξ + Rξ² + Sξ³ + etc.;

so wird

9.

{\begin{cases}\scriptstyle NJ=R\xi ^{2}+S\xi ^{2}+etc.\\\scriptstyle DJ=P-Q\xi -R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\ etc.\\\scriptstyle EK=P-2Q\xi -4R\xi ^{2}-8S\xi ^{3}\ etc.\\\scriptstyle BG=P+Q\xi -R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\ etc.\end{cases}}

.^[2]

Quadrirt man die Unterschiede der Ordinaten

BG — CH und CH — DJ,

und addirt zu den entstehenden Quadraten respective die Quadrate von BC und CD, so erhält man die Quadrate der Bogen GH und HJ. Es wird hiernach

GH² = ξ² + Q²ξ² — 2QRξ³ + ..... HJ² = ξ² + Q²ξ² + 2QRξ³ + .....

und nun

10.

{\begin{cases}\scriptstyle GH=\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\\\scriptstyle HJ=\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\end{cases}}

Subtrahirt man ferner von der Ordinate CH die halbe Summe der Ordinaten BG und DJ, und von DJ die halbe Summe ½(CH + EK); so bleiben die Pfeile der Bogen GJ und HK übrig, und zwar wird

10.

{\begin{cases}\scriptstyle ersterer=R\xi ^{2}\\\scriptstyle letzterer=R\xi ^{2}+3S\xi ^{3}\end{cases}}

Diese sind den kleinen Linien LH und NJ proportional, und stehen

↑ [599] No. 110. S. 253. (Fig. 144.) Da HJ² = HM² + MJ² und HN² = HM² + (MJ — JN)² so wird $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)^{2}={\frac {HM^{2}+MJ^{2}-2MJ\cdot JN+JN^{2}}{HM^{2}+MJ^{2}}}=1-{\frac {JN\ (2MJ-JM)}{HJ^{2}}}$ ; $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)=1-{\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {JN^{2}}{HJ^{2}}}$ , und weil JN sehr klein ist $\scriptstyle 1-{\frac {HN}{HJ}}={\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}$ oder HJ — HN = $\scriptstyle {\frac {MJ\cdot JN}{HJ}}$ .
↑ [599] No. 111. S. 253. Es ist beliebig MJ = Qξ + Rξ² + Sξ³ .... angenommen worden, hieraus folgt unmittelbar, weil NJ = MJ — MN und MN = Qξ ist, NJ = Rξ² + Sξ³ + etc. Der Werth von MJ gilt allgemein für jeden Werth von ξ, mithin wird der entsprechende Werth in E für ξ = 2ξ 2Qξ + 4Rξ² + 8Sξ³ etc. in B für E = — ξ, — Qξ + Rξ² — Sξ³ und so DJ = CH — MJ = P — Qξ — Rξ² — Sξ³; EK = CH — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. = P — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. BG = P + Qξ — Rξ² + Sξ³ — etc.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 253. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/261&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [599] No. 110. S. 253. (Fig. 144.) Da HJ² = HM² + MJ² und HN² = HM² + (MJ — JN)² so wird $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)^{2}={\frac {HM^{2}+MJ^{2}-2MJ\cdot JN+JN^{2}}{HM^{2}+MJ^{2}}}=1-{\frac {JN\ (2MJ-JM)}{HJ^{2}}}$ ; $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)=1-{\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {JN^{2}}{HJ^{2}}}$ , und weil JN sehr klein ist $\scriptstyle 1-{\frac {HN}{HJ}}={\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}$ oder HJ — HN = $\scriptstyle {\frac {MJ\cdot JN}{HJ}}$ .

[2] [599] No. 111. S. 253. Es ist beliebig MJ = Qξ + Rξ² + Sξ³ .... angenommen worden, hieraus folgt unmittelbar, weil NJ = MJ — MN und MN = Qξ ist, NJ = Rξ² + Sξ³ + etc. Der Werth von MJ gilt allgemein für jeden Werth von ξ, mithin wird der entsprechende Werth in E für ξ = 2ξ 2Qξ + 4Rξ² + 8Sξ³ etc. in B für E = — ξ, — Qξ + Rξ² — Sξ³ und so DJ = CH — MJ = P — Qξ — Rξ² — Sξ³; EK = CH — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. = P — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. BG = P + Qξ — Rξ² + Sξ³ — etc.

[1]

[2]