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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

proportionalen Grössen, wenn sie um irgend eine Grösse zunehmen, in geometrischer Progression.

Man beschreibt zum Mittelpunkt C und den rechtwinkligen Asymptoten CADd und CH eine Hyperbel BEeS, und es seien AB, DE und de der Asymptote CH parallel. Auf der Asymptote CD seien die Punkte A und G gegeben. Wird alsdann die Zeit durch die gleichförmig wachsende hyperbolische Fläche ABED ausgedrückt, so kann die Geschwindigkeit durch die Länge DF ausgedrückt werden, deren reciproke Länge GD, in Verbindung mit der Constanten CG, die Linie CD darstellt, welche in geometrischer Progression zunimmt.

Es sei nämlich DEed ein gegebenes möglichst kleines Increment der Zeit, alsdann verhält sich

Dd umgekehrt wie DE und daher direct wie CD.

Das Increment von $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ ist (nach zweitem Buch, §. 10.) = $\scriptstyle {\frac {Dd}{GD^{2}}}$ und verhält sich daher wie

$\scriptstyle {\frac {CD}{GD^{2}}}={\frac {CG+GD}{GD^{2}}}={\frac {1}{GD}}+{\frac {CG}{GD^{2}}}$

Nimmt also die Zeit ABED, durch Addition constanter Theilchen EDde gleichförmig zu, so nimmt $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ in demselben Verhältniss wie die Geschwindigkeit ab. Das Decrement der Geschwindigkeit verhält sich nämlich wie der Widerstand, d. h. (nach der Voraussetzung) wie die Summe zweier Grössen, deren eine der Geschwindigkeit selbst, deren andere ihrem Quadrat proportional ist, und das Decrement von $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ verhält sich wie die Summe

$\scriptstyle {\frac {1}{GD}}+{\frac {CG}{GD^{2}}}$,

deren erster Summand $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ selbst, deren zweiter $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ proportional ist. Wegen des analogen Decrementes verhält sich $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ demnach wie die Geschwindigkeit. Wird nun die Grösse GD, welche $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ umgekehrt proportional ist, um die constante Grösse CG vergrössert, so nimmt ihre Summe CD, während die Zeit ABED gleichförmig wächst, in geometrischer Progression zu.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Sind die Punkte A und G gegeben, und wird die Zeit durch die hyperbolische Fläche ABED bezeichnet; so kann die Geschwindigkeit durch $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ welches GD umgekehrt proportional ist, ausgedrückt werden.

Zusatz 2. Nimmt man an, dass GA sich zu GD umgekehrt wie die Anfangsgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit am Ende der beliebigen

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 266. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/274&oldid=- (Version vom 1.8.2018)