Seite:NewtonPrincipien.djvu/284

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Ferner fälle man auf OP die Perpendikel QD und SE, alsdann fallen die letzten Verhältnisse der Linien folgendermaassen aus:

TQ : PD = TS : PE = PS : PE^[1] = 2P0 : 2PS,

ferner ist

PD : PQ = PQ : 2P0;^[2]

also durch Zusammensetzung

TQ : PQ = PQ : 2PS

oder

PQ² — TQ · 2PS.   W. z. b. w.

§. 21. Lehrsatz. Verhält sich die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Orten umgekehrt, wie der Abstand der letztem von einem unbeweglichen Centrum, und steht die Centripetalkraft im doppelten Verhältniss der Dichtigkeit; so kann der Körper sich in einer Spirale bewegen, welche alle von jenem Centrum aus gezogenen Radien unter einem constanten Winkel schneidet.

Man setze alles voraus, was im vorhergehenden Lehrsatze ausgesprochen worden ist und verlängere SQ bis V, so dass

SV = SP

wird. In gleichen Zeiten beschreibe der Körper die sehr kleinen Bogen PQ und QR. Die Decremente dieser Bogen, welche aus dem Widerstände des Mittels entspringen, oder diese Unterschiede zwischen diesen Bogen und denjenigen, welche in denselben Zeiten im nicht widerstehenden Mittel beschrieben werden würden, verhalten sich zu einander, wie die Quadrate der Zeiten, in denen sie erzeugt werden. Es ist daher das Decrement des Bogens PQ gleich ¼ Decrement des Bogens PR. Nimmt man die Fläche

PSQ = QSr,

so wird das Decrement des Bogens PQ

= ½Rr,

und es verhält sich daher die Kraft des Widerstandes zur Centripetalkraft, wie

1.   ½Rr : TQ,

welche Linien beide Kräfte respective gleichzeitig erzeugen. Da die Centripetalkraft, welche in P auf den Körper wirkt, sich umgekehrt wie SP² verhält (nach erstem Buche, §. 10.) die kleine Linie TQ, welche durch jene Kraft erzeugt wird, in einem Verhältniss steht, das aus dieser Kraft und dem Quadrat der Zeit, worin der Bogen PQ beschrieben wird, zusammengesetzt ist (denn den Widerstand vernachlässige ich in diesem Falle, da er unendlich kleiner als die Centripetalkraft ist); TQ · SP² oder (nach §. 20.) ½PS² · SP dem Quadrate jener Zeit proportional. Die Zeit verhält sich daher wie

2.   PQ $\scriptstyle {\sqrt {SP}}$,

und die Geschwindigkeit, womit der Körper den Bogen PQ in jener Zeit beschreibt, wie

$\scriptstyle {\frac {PQ}{PQ\ {\sqrt {SP}}}}={\frac {1}{\sqrt {SP}}}$,

d. h. umgekehrt wie die Quadratwurzel aus dem Abstande SP. Auf dieselbe Weise findet man die Geschwindigkeit, womit der Bogen QR beschrieben wird, im halben umgekehrten Verhältniss von SQ. Die

---

1. 

   Fig. 249.

   No. 131. S. 276. Es ist unmittelbar TQ : PD = TS : PE. Fällt nun Q mit P zusammen, so geht gleichzeitig T in P über und man kann PS statt TS setzen; es entsteht daher

   TQ : PD = PS : PE.
2. No. 132. S. 276. (Fig. 161.) OP und OQ stehen nach der Voraussetzung auf der Spirallinie perpendikulär, und wenn die Punkte P und Q einander unendlich nahe liegen, werden beide sich auf dem Kreise befinden, welcher aus O mit OP = OQ als Radius geschlagen ist. Indem man in diesem Falle den unendlich kleinen Bogen PQ statt seiner Sehne setzt, ergibt sich nach bekannter Weise PD : PQ = PQ : 2PO.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 276. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/284&oldid=- (Version vom 1.8.2018)