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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

jener halben Bogen verhalten, und da sie bei gleichen Bogen grösser in der Cycloïde als im Kreise, und zwar im Verhältniss der halben Bogen zu ihren Sehnen sind; da die Zeiten aber im Kreise grösser sind, als in der Cycloïde im umgekehrten Verhältniss der Geschwindigkeiten: so müssen die, dem Widerstände und dem Quadrate der Zeit zusammengenommen proportionalen, Unterschiede der Bogen sehr nahe in beiden Curven dieselben sein. Jene Unterschiede müssen nämlich in der Cycloïde zugleich mit dem Widerstände vergrössert werden, ungefähr im doppelten Verhältniss des Bogens zur Sehne; weil die Geschwindigkeit in demselben einfachen Verhältniss zunimmt und zugleich mit dem Quadrate der Zeit in demselben doppelten Verhältniss vermindert werden. Um daher zur Cycloïde überzugehen, muss man dieselben Unterschiede der Bogen nehmen, welche am Kreise beobachtet worden sind, die grössten Geschwindigkeiten aber den ganzen oder den halben Bogen, d. h. den Zahlen

½, 1, 2, 4, 8, 16

analog setzen.

Nehmen wir demnach im zweiten, vierten und sechsten Versuche für V respective die Zahlen 1, 4, 16 an, so erhalten wir für die gefundenen Unterschiede der Bogen die folgenden Gleichungen:

2.   $\scriptstyle {\scriptstyle {\begin{cases}{\frac {1}{242}}=A+B+C\\{\frac {4}{71}}=4A+8B+16C\\{\frac {24}{29}}=16A+64B+256C.\end{cases}}}$

Aus diesen Gleichungen erhält man durch gehörige Elimination

A = 0,0000916 B = 0,0010847 C = 0,0029058,

und der Unterschied der Bogen ist daher proportional:

3.   0,0000916 · V + 0,0010847 · V3/2 + 0,0029558 · V².

Da nun nach §. 40, Zusatz der Widerstand der Kugel in der Mitte des beschriebenen Bogens, wo die Geschwindigkeit = V ist, sich zu ihrem Gewichte verhält, wie

4. 7/11A · V + 7/10B · V3/2 + ¾C · V²^[1]

zur Länge des Pendels; so erhält man nach der Substitution obiger Werthe von A, B und C das Verhältniss des Widerstandes der Kugel zu ihrem Gewichte, wie

5.   0,0000583 · V + 0,0007593V3/2 + 0,0022169 · V²

zur Länge des Pendels zwischen dem Aufhängepunkte und dem Lineale, d. h. zu 121 Zoll.

Da nun im zweiten, vierten und sechsten Versuche

respective V = 1, 4, 16

war, so wird das Verhältniss des Widerstandes zum Gewichte der Kugel in diesen drei Fällen

0,0030345 : 121 0,0417780 : 121 0,6170544 : 121.

Der Bogen, welchen der am Faden bezeichnete Punkt im sechsten Falle beschrieben hat, war 120 — 24/29 = 1195/29 Zoll.

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1. No 161. S. 308. Betrachtet man den Widerstand der Kugel als aus drei Theilen bestehend, von denen der erste der Geschwindigkeit V selbst, der zweite ihrer 3/2ten Potenz, der dritte ihrer 2ten Potenz proportional ist;

   so ist der Coëfficient des	ersten	nach §. 40., Zusatz	= 7/11,
   „ „ „ „	dritten Theiles	„ „	= ¾

   und weil V^3/2 = $\scriptstyle {\sqrt {V\cdot V^{2}}}$, der Coëfficient des zweiten Theiles = $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {7}{11}}\cdot {\frac {3}{4}}}}$ = 0,69085, oder näherungsweise = 7/10 Texte.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 308. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/316&oldid=- (Version vom 1.8.2018)