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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

das Perpendikel bE = AC = BC und macht man bH = $\scriptstyle {\frac {BE^{2}}{BC}}$ ; so wird

4. bH : bE = BE² : BC²,

d. h. so verhält sich bH zu bE, wie die Wirksamkeit des Theilchens gegen die Kugel zu seiner Wirksamkeit gegen den Cylinder.

Es wird daher auch der Körper, welcher alle geraden Linien bH umfasst, sich zu dem Körper verhalten, welcher von allen geraden Linien bE gebildet wird, wie die Wirksamkeit aller Theilchen gegen die Kugel zu ihrer Wirksamkeit gegen den Cylinder. Der erstere Körper ist ein Paraboloïd. welches zum Scheitel C, der Axe CA und dem Parameter = CA construirt ist,^[1] der letztere ein um das Paraboloïd construirter Cylinder, und es ist bekannt, dass das Paraboloïd der Hälfte des Cylinders gleich ist. Daher ist die Kraft des ganzen Mittels gegen die Kugel halb so gross, als die gegen den Cylinder ausgeübte.

Ruhen endlich die Theilchen des Mittels, und bewegen sich Kugel und Cylinder mit gleicher Geschwindigkeit; so wird der Widerstand, welchen die Kugel erleidet, nur halb so gross sein als derjenige, welchen der Cylinder zu erleiden hat. W. z. b. w.

§. 46. Anmerkung. Nach derselben Methode kann man andere Figuren in Bezug auf den Widerstand, welchen sie erleiden, mit einander vergleichen und diejenigen finden, welche sich zur Fortsetzung ihrer Bewegung im widerstehenden Mittel am besten eignen.

Soll man etwa zur kreisförmigen Basis CEBH, welche aus dem Mittelpunkte O mit dem Radius OC beschrieben ist und zur Höhe OD denjenigen abgekürzten Kegel CBGF bestimmen, welcher von allen über derselben Grundfläche und zu derselben Höhe construirten Kegeln den kleinsten Widerstand erleidet; so halbire man OD in Q, verlängere OQ bis S, so dass QS = QO werde. Alsdann wird S der Scheitel des Kegels sein, dessen abgekürztes Stück man sucht.^[2]

Hieraus ergiebt sich nebenbei Folgendes. Da der Winkel CSB immer spitz ist, so lasse man an einem Körper ADBE, der durch Umdrehung der elliptischen oder ovalen Figur ADBE um die Axe AB entstanden ist, die Linien FG, GH, HJ die erzeugende Figur in den Punkten F, B, J so berühren, dass GH im Berührungspunkt B perpendikulär auf der Axe stehe, FG

↑ [609] No. 169. S. 323. Fällt man in der Figur des Textes das Perpendikel Hk auf CA und setzt man Hk = bA = EC = y, Ck = x, also bH = Ak = AC — x; so wird BE² = BC² — CE² = AC² — y² und die Gleichung bH = $\scriptstyle {\frac {BE^{2}}{BC}}$ gebt über in AC — x = $\scriptstyle {\frac {AC{^{2}}-y^{2}}{AC}}$ , d. h. in y² = AC · x, die Gleichung der Parabel. Ferner ist der Cubikinhalt des Paraboloïds = $\scriptstyle \int \limits _{0}^{AC}y^{2}\pi dx=\int \limits _{0}^{AC}AC\pi xdx$ = ½AC³ · π, dagegen der Inhalt des Cylinders = AC³ · π; also das Paraboloïd = ½ Cylinder.
↑ [609] No. 170. S. 323. Setzt man den Widerstand, welchen das Mittel gegen einen, über CEB zur Hohe OS construirten Cylinder ausüben würde, = p · CEB, wo p eine Constante ist; so hat man nach §. 45. den gegen den ganzen Kegel CBS ausgeübten Widerstand 1.   = p · CEB · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$ ,
den gegen den kleinen Kegel FGS ausgeübten
2.   = p · FG · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$ ,
endlich den gegen die Fläche FG ausgeübten Widerstand
3.   = p · FG.
Hiernach wird der, gegen den abgekürzten Kegel ausgeübte Widerstand
4.    = p · $\scriptstyle \left[{\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}(CEB-FG)+FG\right]$
Setzt man nun CO = b, OD = a, DS = x, so wird CEB : FG = (a + x)² : x², also
5.   die Fläche FG = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}$ · CEB
und ausserdem
6.   CS² = b² + (a + x)².
Nach §. 4. ist daher der Widerstand
= p · CEB $\scriptstyle \left[{\frac {b^{2}}{b^{2}+(a+x)^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right)+{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right]$ ,
und da p und CEB beide constant, so muss x so bestimmt werden, dass nach gehöriger Reduction
7.   F(x) = $\scriptstyle {\frac {b^{2}(b^{2}+x^{2})}{b^{2}+(a+x)^{2}}}$
ein Minimum werde. Wir erhalten demnach durch Differentiation
8.   F'(x) = $\scriptstyle {\frac {2b^{2}a\left[ax+x^{2}-b^{2}\right]}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {Z}{N}}$
Aus F'(x) = 0 oder Z = 0 folgt
9.    x = — ½a + $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$
also
QS = QD + DS = ½a + x = $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$ = CQ.
Ferner wird aus 8., weil Z = 0,
10.   F"(x) = $\scriptstyle {\frac {dZ}{N}}={\frac {2b^{2}a(a+2x)}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {4b^{2}a{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}{\left[b^{2}+\left({\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{2}}}$ [610] also F"(x) positiv und für den in 9. gefundenen Werth von x, F(x) ein Minimum. Nimmt die Höhe OD mehr und mehr ab, so wird CQ = QS mehr und mehr OC gleich werden und wenn die Höhe a verschwindend klein geworden ist, wird QS = OC, $\scriptstyle \angle$ OCS = OSC = 45° und $\scriptstyle \angle$ CSB = 90°.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 323. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/331&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [609] No. 169. S. 323. Fällt man in der Figur des Textes das Perpendikel Hk auf CA und setzt man Hk = bA = EC = y, Ck = x, also bH = Ak = AC — x; so wird BE² = BC² — CE² = AC² — y² und die Gleichung bH = $\scriptstyle {\frac {BE^{2}}{BC}}$ gebt über in AC — x = $\scriptstyle {\frac {AC{^{2}}-y^{2}}{AC}}$ , d. h. in y² = AC · x, die Gleichung der Parabel. Ferner ist der Cubikinhalt des Paraboloïds = $\scriptstyle \int \limits _{0}^{AC}y^{2}\pi dx=\int \limits _{0}^{AC}AC\pi xdx$ = ½AC³ · π, dagegen der Inhalt des Cylinders = AC³ · π; also das Paraboloïd = ½ Cylinder.

[2] [609] No. 170. S. 323. Setzt man den Widerstand, welchen das Mittel gegen einen, über CEB zur Hohe OS construirten Cylinder ausüben würde, = p · CEB, wo p eine Constante ist; so hat man nach §. 45. den gegen den ganzen Kegel CBS ausgeübten Widerstand 1. = p · CEB · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$ ,
den gegen den kleinen Kegel FGS ausgeübten
2. = p · FG · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$ ,
endlich den gegen die Fläche FG ausgeübten Widerstand
3. = p · FG.
Hiernach wird der, gegen den abgekürzten Kegel ausgeübte Widerstand
4. = p · $\scriptstyle \left[{\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}(CEB-FG)+FG\right]$
Setzt man nun CO = b, OD = a, DS = x, so wird CEB : FG = (a + x)² : x², also
5. die Fläche FG = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}$ · CEB
und ausserdem
6. CS² = b² + (a + x)².
Nach §. 4. ist daher der Widerstand
= p · CEB $\scriptstyle \left[{\frac {b^{2}}{b^{2}+(a+x)^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right)+{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right]$ ,
und da p und CEB beide constant, so muss x so bestimmt werden, dass nach gehöriger Reduction
7. F(x) = $\scriptstyle {\frac {b^{2}(b^{2}+x^{2})}{b^{2}+(a+x)^{2}}}$
ein Minimum werde. Wir erhalten demnach durch Differentiation
8. F'(x) = $\scriptstyle {\frac {2b^{2}a\left[ax+x^{2}-b^{2}\right]}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {Z}{N}}$
Aus F'(x) = 0 oder Z = 0 folgt
9. x = — ½a + $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$
also
QS = QD + DS = ½a + x = $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$ = CQ.
Ferner wird aus 8., weil Z = 0,
10. F"(x) = $\scriptstyle {\frac {dZ}{N}}={\frac {2b^{2}a(a+2x)}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {4b^{2}a{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}{\left[b^{2}+\left({\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{2}}}$ [610] also F"(x) positiv und für den in 9. gefundenen Werth von x, F(x) ein Minimum. Nimmt die Höhe OD mehr und mehr ab, so wird CQ = QS mehr und mehr OC gleich werden und wenn die Höhe a verschwindend klein geworden ist, wird QS = OC, $\scriptstyle \angle$ OCS = OSC = 45° und $\scriptstyle \angle$ CSB = 90°.

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