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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Die Gewichte des, in den ungleichen Schenkeln (Figur 188.) des Kanals ACQqca eingeschlossenen, Wassers sind gleich, und die Gewichte ihrer Theile, welche den Schenkeln proportional und auf dieselbe Weise in ihrem Ganzen gelegen sind, verhalten sich zu einander, wie ihre ganzen Gewichte und sind daher einander gleich. Daher werden solche Gewichte, welche gleich und in diesen Schenkeln gleich gelegen sind, sich umgekehrt wie diese Schenkel, d. h. wie 230 : 229 verhalten. Dieselbe Bewandtniss hat es mit allen beliebigen gleichartigen und gleichen Körpern, welche in den Schenkeln dieses Kanals ähnlich gelegen sind; ihre Gewichte werden sich umgekehrt wie diese Schenkel verhalten, d. h. umgekehrt wie die Entfernungen dieser Körper vom Mittelpunkte der Erde. Ferner werden die Gewichte der, an den oberen Enden dieser Kanäle oder an der Oberfläche der Erde gelegenen, Körper sich untereinander umgekehrt wie ihre Entfernung vom Mittelpunkte verhalten.

Aus demselben Grunde sind die Gewichte, in jeder anderen beliebigen Gegend auf der Oberfläche der Erde, den Entfernungen ihrer Orte vom Mittelpunkte der Erde umgekehrt proportional; folglich wird unter der Voraussetzung, dass die Erde ein Sphäroïd sei, ihr Verhältniss gegeben sein. Hieraus leitet man folgenden Satz ab: Beim Fortgange vom Aequator nach den Polen zu wird die Gewicht-Zunahme sehr nahe dem Sinus versus der doppelten Breite oder, was dasselbe ist, dem Quadrat des Sinus der Breite proportional.^[1] Die Bogen der Breitengrade im Meridian wachsen sehr nahe in demselben Verhältniss.^[2] Nun ist die Breite von Paris = 48° 50′, die Breite der unter dem Aequator liegenden Orte = 0° 0′ und endlich die Breite der unter den Polen liegenden = 90°. Die Sinus versus der doppelten Bogen sind folglich respective 11334, 0, 20000, für den Radius = 10000. Ferner verhält sich die Schwere an den Polen zu der unter dem Aequator stattfindenden, wie 230 : 229, also der Ueberschuss der ersteren Schwere über die letztere wie 1 : 229. Man findet daher, dass der Ueberschuss der in der Breite von Paris stattfindenden Schwere sich zu der unter dem Aequator stattfindenden Schwere verhält, wie 1 · $\scriptstyle {\frac {11334}{20000}}$ : 229 = 5667 : 2290000. Die ganzen Schwerkräfte an diesen beiden Orten verhalten sich daher wie 2295667 : 2290000.

Da nun die Längen der Pendel, welche ihre Schwingungen in gleichen Zeiten ausführen, im directen Verhältniss der Schwerkräfte stehen; da ferner die Länge des Secundenpendels in der Breite von Paris = 3 Fuss 8½ Linien, oder vielmehr, wegen des Gewichts der Luft = 3 Fuss 85/9 Linien ist: so wird die Länge des Pendels unter dem Aequator um 1,087 Linien kleiner sein, als die des synchronischen Pendels von Paris.^[3]

Durch eine ähnliche Rechnung habe ich die folgende Tafel erhalten:

↑ [627]
Fig. 257.
No. 229. S. 405. Stellt die nebenstehende Figur ¼ des Spharoïds vor, ist A'C = a die halbe grosse, PC = b die halbe kleine Axe; so verhält sich die Schwere unter dem Aequator in A' zu der unter dem Pole in P, wie b : a, und zu der in B wie b : r, wo CB = r. Mithin ist, wenn α die Schwere in A', β die Schwere in B [628] bezeichnet, α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{a}}$ , β proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ und so die Zunahme der Schwere von A' bis B, oder β bis α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)$ . Ist nun CA = x, AB = y, die Breite BCA' = φ, so haben wir $\scriptstyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ = 1 und weil y = r sinφ, x = r cosφ, $\scriptstyle {\frac {r^{2}\sin \varphi ^{2}}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos \varphi ^{2}}{a^{2}}}$ =1. Setzt man nun b² = a² (1 – e²), wo e² nothwendig sehr klein ist, so wird
$\scriptstyle r^{2}={\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{1-e^{2}+e^{2}\sin \varphi ^{2}}}=a^{2}{\frac {1}{1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}$ ,

oder $\scriptstyle {\frac {a}{r}}={\sqrt {1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ … oder mit grosser Annäherung $\scriptstyle {\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)={\frac {1}{2a}}\cdot {\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ , d. h. proportional sinφ².
↑ [628] No. 230. S. 405. Vernachlässigt man die höheren unbedeutenden Glieder, so wird der Ausdruck des Meridiangrades m = α – βcos2φ, wo α und β constant sind, mithin für φ = o, m' = α – β und m – m = β (1 – cos2φ) = βsin. ver. 2φ = 2βsinφ².
↑ [628] No. 231. S. 405. Da für Paris die Länge des Pendels l = 3 Fuss 85/9 Linien = 440,550 Linien, so wird die Länge des synchronischen Pendels unter dem Aequator: l' = $\scriptstyle {\frac {2290000}{2295667}}$ · 440,555 = 439,468, also l – l' = 1,087 Linien.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 405. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/413&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [627]
Fig. 257.
No. 229. S. 405. Stellt die nebenstehende Figur ¼ des Spharoïds vor, ist A'C = a die halbe grosse, PC = b die halbe kleine Axe; so verhält sich die Schwere unter dem Aequator in A' zu der unter dem Pole in P, wie b : a, und zu der in B wie b : r, wo CB = r. Mithin ist, wenn α die Schwere in A', β die Schwere in B [628] bezeichnet, α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{a}}$ , β proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ und so die Zunahme der Schwere von A' bis B, oder β bis α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)$ . Ist nun CA = x, AB = y, die Breite BCA' = φ, so haben wir $\scriptstyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ = 1 und weil y = r sinφ, x = r cosφ, $\scriptstyle {\frac {r^{2}\sin \varphi ^{2}}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos \varphi ^{2}}{a^{2}}}$ =1. Setzt man nun b² = a² (1 – e²), wo e² nothwendig sehr klein ist, so wird
$\scriptstyle r^{2}={\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{1-e^{2}+e^{2}\sin \varphi ^{2}}}=a^{2}{\frac {1}{1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}$ ,

oder $\scriptstyle {\frac {a}{r}}={\sqrt {1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ … oder mit grosser Annäherung $\scriptstyle {\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)={\frac {1}{2a}}\cdot {\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ , d. h. proportional sinφ².

[2] [628] No. 230. S. 405. Vernachlässigt man die höheren unbedeutenden Glieder, so wird der Ausdruck des Meridiangrades m = α – βcos2φ, wo α und β constant sind, mithin für φ = o, m' = α – β und m – m = β (1 – cos2φ) = βsin. ver. 2φ = 2βsinφ².

[3] [628] No. 231. S. 405. Da für Paris die Länge des Pendels l = 3 Fuss 85/9 Linien = 440,550 Linien, so wird die Länge des synchronischen Pendels unter dem Aequator: l' = $\scriptstyle {\frac {2290000}{2295667}}$ · 440,555 = 439,468, also l – l' = 1,087 Linien.

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