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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

§. 56. Lehnsatz, Es ist (Figur 209.)

7. Jμ = Mμ =

\scriptstyle {\frac {AJ\cdot JC}{4\cdot S\mu }}

,

4 Sμ ist nämlich der Parameter der Parabel für μ als Scheitelpunkt.^[1]

§. 57. Lehnsatz. Man verlängere Sμ (Figur 209) bis N und P, so dass

8.

\scriptstyle {\begin{cases}\\\\\end{cases}}

μN = ⅓Jμ und
SP : SN = SN : Sμ

sei; alsdann würde der Komet, wenn er immer mit der Geschwindigkeit, welche er in der Höhe SP hat, fortginge, während derselben Zeit, welche er zur Durchlaufung des Bogens AμC braucht, einen der Sehne AC gleichen Bogen beschreiben.

Ginge nämlich der Komet in derselben Zeit gleichförmig auf der geraden Linie fort, welche die Parabel in μ berührt, so würde die Fläche, welche durch die nach dem Brennpunkt S gezogenen Radien beschrieben wird, der parabolischen Fläche ASCμ gleich sein. Es wird daher das Produkt aus dem Theile der Tangente, welchen er beschreiben wurde, in die gerade Linie Sμ sich zum Produkt AC · SM verhalten, wie

9. ASCμ : ASC, d. h. wie SN : SM.^[2]

Es verhält sich daher AC zu dem beschriebenen Theile der Tangente, wie

10. Sμ : SN.

Da nun aber die Geschwindigkeit in der Höhe SP sich (nach §. 36., Zusatz 6. des ersten Buches) zu der Geschwindigkeit in der Höhe Sμ verhält, wie

11.

\scriptstyle {\sqrt {S\mu }}:{\sqrt {SP}}

, d. h. wie Sμ : SN (Gl. 8.);

so verhält sich die, mit dieser Geschwindigkeit in derselben Zeit beschriebene Linie, zu dem gleichzeitig beschriebenen Theile der Tangente, wie Sμ : SN.

Da aber AC und die, mit dieser neuen Geschwindigkeit beschriebene Linie, zum beschriebenen Theile der Tangente in demselben Verhältniss stehen, so sind sie unter sich gleich.

Zusatz. Der Komet würde also mit der Geschwindigkeit, welche er in der Höhe Sμ + ⅔Jμ hat, sehr nahe die Sehne AC in derselben Zeit zurücklegen.^[3]

§. 58. Lehnsatz. Fällt ein aller Bewegung beraubter Komet aus der Höhe SN = Sμ + ⅓Jμ (Figur 209.) gegen die Sonne, und wird die Kraft, welche ihn beim Beginnen des Fallens antreibt, unverändert während der ganzen Zeit beibehalten; so beschreibt er beim Herabsteigen einen Jμ gleichen Weg in der Hälfte derjenigen Zeit, in welcher er in seiner Bahn den Bogen AC zurückgelegt haben würde.

Der Komet wird nämlich in der Zeit, während welcher er den parabolischen Bogen AC beschreibt, die Sehne AC mit derjenigen Geschwindigkeit zurücklegen, welche er in der Höhe SP hatte (nach §. 57). Er wurde daher (nach §. 36., Zusatz 7. des ersten Buches), wenn er in derselben Zeit, vermöge der Schwerkraft, seinen Umlauf in einem zum

↑ [649] No. 305. S. 471. Setzt man den Winkel, welchen die im neuen Scheitelpunkte μ, an der Parabel gezogene Tangente mit der Hauptaxe [650] bildet, = α, den Parameter = p, so ist die Gleichung der Parabel, in Bezug auf μ als Scheitel und μJ als Durchmesser, allgemein: x² = $\scriptstyle {\frac {p}{\sin \alpha ^{2}}}$ x.
Fig. 274.

Im vorliegenden Falle entspricht μ der, im Brennpunkte S errichteten Ordinate und es ist daher Sμ = SF = ½p, α = 45°, also JC² = JA² = JA · JC = $\scriptstyle {\frac {p}{\frac {1}{2}}}$ · JM = 2p · JM = 4 · ½p · x = 4 · Sμ · x und der neue Parameter = 4S/μ. Ferner wird, weil α = MJμ = JMμ = 45°, x = Jμ = Mμ = $\scriptstyle {\frac {JA\cdot JC}{4S\mu }}$ .
↑ [650] No. 306. S. 471. Denken wir uns auf der Tangente gleiche Stücke μμ', μ'μ", etc. μμ^I, μ^Iμ^II etc. dies- und jenseits μ abgetragen, und aus jedem der so erhaltenen Punkte Parallelen μ'ν', μ"ν", etc. mit Sμ gezogen, so wird Sμμ' = Sμν', Sμ'μ" = Sν'ν" etc. und so endlich die ganze dreieckige Fläche gleich der parabolischen. Denken wir uns ferner aus C die Ordinate CD gefällt, so wird, weil (Fig. 209.) $\scriptstyle \angle$ SAC = 45°, CD = DA = 2 · Sμ = 4AS und SD = 3 · AS; mithin jetzt ASCμA = ⅔AD · DC — ½SD · DC = ⅔ · 4AS · DC — ½ · 3AS · DC; ASCμA = 7/6AS · DC; ASC = ½AS · DC und ASCμA : ASC = 7/3AS : AS = 2 AS + ⅓AS : AS = Sμ + ⅓JM : SM = SN : SM. Setzt man nun den beschriebenen Theil der Tangente = T, so wird T · Sμ : AC · SM = SN : SM und T : AC = SN : Sμ.
↑ [650] No. 307. S. 471. Es ist nämlich SP = $\scriptstyle {\frac {SN^{2}}{S\mu }}={\frac {\left(S\mu +{\frac {1}{3}}J\mu \right)^{2}}{S\mu }}$ = Sμ + ⅔Jμ...

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 471. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/479&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [649] No. 305. S. 471. Setzt man den Winkel, welchen die im neuen Scheitelpunkte μ, an der Parabel gezogene Tangente mit der Hauptaxe [650] bildet, = α, den Parameter = p, so ist die Gleichung der Parabel, in Bezug auf μ als Scheitel und μJ als Durchmesser, allgemein: x² = $\scriptstyle {\frac {p}{\sin \alpha ^{2}}}$ x.
Fig. 274.

Im vorliegenden Falle entspricht μ der, im Brennpunkte S errichteten Ordinate und es ist daher Sμ = SF = ½p, α = 45°, also JC² = JA² = JA · JC = $\scriptstyle {\frac {p}{\frac {1}{2}}}$ · JM = 2p · JM = 4 · ½p · x = 4 · Sμ · x und der neue Parameter = 4S/μ. Ferner wird, weil α = MJμ = JMμ = 45°, x = Jμ = Mμ = $\scriptstyle {\frac {JA\cdot JC}{4S\mu }}$ .

[2] [650] No. 306. S. 471. Denken wir uns auf der Tangente gleiche Stücke μμ', μ'μ", etc. μμ^I, μ^Iμ^II etc. dies- und jenseits μ abgetragen, und aus jedem der so erhaltenen Punkte Parallelen μ'ν', μ"ν", etc. mit Sμ gezogen, so wird Sμμ' = Sμν', Sμ'μ" = Sν'ν" etc. und so endlich die ganze dreieckige Fläche gleich der parabolischen. Denken wir uns ferner aus C die Ordinate CD gefällt, so wird, weil (Fig. 209.) $\scriptstyle \angle$ SAC = 45°, CD = DA = 2 · Sμ = 4AS und SD = 3 · AS; mithin jetzt ASCμA = ⅔AD · DC — ½SD · DC = ⅔ · 4AS · DC — ½ · 3AS · DC; ASCμA = 7/6AS · DC; ASC = ½AS · DC und ASCμA : ASC = 7/3AS : AS = 2 AS + ⅓AS : AS = Sμ + ⅓JM : SM = SN : SM. Setzt man nun den beschriebenen Theil der Tangente = T, so wird T · Sμ : AC · SM = SN : SM und T : AC = SN : Sμ.

[3] [650] No. 307. S. 471. Es ist nämlich SP = $\scriptstyle {\frac {SN^{2}}{S\mu }}={\frac {\left(S\mu +{\frac {1}{3}}J\mu \right)^{2}}{S\mu }}$ = Sμ + ⅔Jμ...

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