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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

ist ungeheuer gross, und eine sehr kleine Menge Dunst reicht hin, um die Erscheinungen der Schweife hervorzubringen.

Die Luft nimmt bekanntlich an der Oberfläche der Erde einen 1200mal grösseren Raum ein, als eine Wassermenge von demselben Gewicht; daher ist eine cylindrische 1200 Fuss hohe Luftsäule eben so schwer, als eine Wassersäule von 1 Fuss Höhe und derselben Breite. Eine bis zum Ende der Atmosphäre ansteigende Luftsäule kommt aber an Gewicht ungefähr einer 33 Fuss hohen Wassersäule gleich.

Nimmt man daher von der ganzen Luftsäule den unteren 1200 Fuss hohen Theil fort, so wird der übrige, obere Theil an Gewicht einer 32 Fuss hohen Wassersäule gleich kommen. In einer Höhe von 1200 Fuss oder 2 Stadien ist daher das Gewicht der aufsteigenden Luft kleiner, und die Verdünnung der zusammengedrückten Luft grosser, als an der Oberfläche der Erde, im Verhältniss 33 : 32.

Ist dies bekannt, so kann man nun die Verdünnung der Luft in allen Höhen (mit Hülfe von §. 30., Zusatz des zweiten Buches) nach der Hypothese finden, dass die Ausdehnung des Luft der Zusammendrückung umgekehrt proportional sei. Diese Proportion ist nämlich sowohl durch Hook’s, als Anderer Versuche bestätigt worden.

Wir haben in der folgenden Tabelle die Berechnung hinzugefügt, wo die erste Rubrik die Höhe der Luft in Meilen, deren 4000 dem Halbmesser der Erde gleich sind, die zweite die Zusammendrückung der Luft oder das aufsteigende Gewicht, die dritte aber die Verdünnung oder Ausdehnung derselben Luft unter der Voraussetzung ergiebt, dass die Schwere im doppelten Verhältniss der Entfernung vom Mittelpunkt der Erde abnehme. Die römischen Zahlen bedeuten hier eine gewisse Anzahl Nullen, dergestalt, dass z. B.

0,XVII 1224 = 0,000000000000000001224, 26956 XV = 26956000000000000000.

Der Luft
Höhe.	Zusammendrückung	Ausdehnung.
0 5 10 20 40 400 4000 40000 400000 4000000 ∞	33 17,8515 9,6717 2,852 0,2525 0,xvii 1224 0,cv. 4465 0,cxcii 1628 0,ccx 7895 0,ccxii 9878 0,ccxii 6041	1 1 3 11 136 26956 73907 20263 41798 33414 54622	,8486 ,4151 ,571 ,83 xv cii clxxxix ccvii ccix ccix

Aus dieser Tabelle^[1] ersieht man, dass die Luft beim Fortgange nach oben lockerer wird, so dass eine Kugel von der der Erde nahe liegenden Luft, deren Durchmesser 1 Zoll beträgt, wenn sie sich durch jene Auflockerung ausdehnt, in einer Höhe von einem Halbmesser alle

↑ [662] No. 357. S. 562. Nach §. 30., Zusatz des zweiten Buches haben wir thnz : thkw = Aa — Ff : Aa — Cc oder 1. thnz : thkw = 1 —

\scriptstyle {\frac {Ff}{Aa}}

: 1 —

\scriptstyle {\frac {Cc}{Aa}}

Nach der Lehre von der Hyperbel wird aber

2.

\scriptstyle {\begin{cases}\\\end{cases}}

thnz = log St — log Sz
thkw = log St — log Sw

und nach derselben Lehre SF · Ff = SA · Aa oder

\scriptstyle {\frac {Ff}{Aa}}={\frac {SA}{SF}}

und ebenso

\scriptstyle {\frac {Cc}{Aa}}={\frac {SA}{SC}}

\scriptstyle \left.{\begin{array}{c}\\\\\\\end{array}}\right\}

3.

Nach den Gleichungen 1. bis 3. wird, wenn man

St = AH,	d. h. die Dichtigkeit in	A durch	δ₀
Sz = FN	„ „ „	F „	δ
Sw = CK	„ „ „	C „	δ₁

bezeichnet, $\scriptstyle {\frac {\log \ \delta _{0}-\log \ \delta }{\log \ \delta _{0}-\log \ \delta _{1}}}={\frac {1-{\frac {SA}{SF}}}{1-{\frac {SA}{SC}}}}$ oder, weil SF — SA = AF und [663] SC — SA = AC, wenn man den Abstand AF = x, AC = a, SC = SA + AC = r + a, SF = SA + AF = r + x setzt, wo r = 4000 englische Meilen den Halbmesser der Erde bezeichnet

\scriptstyle {\frac {\log \left({\frac {\delta }{\delta _{0}}}\right)}{\log \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)}}={\frac {x}{a}}\cdot {\frac {r+a}{r+x}}

,

\scriptstyle \log \left({\frac {\delta }{\delta _{0}}}\right)={\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}\log \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)

und indem man von den Logarithmen auf Zahlen übergeht:

5.

\scriptstyle \delta =\delta _{0}\cdot \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)^{\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}=\delta _{0}:\left({\frac {\delta _{0}}{\delta _{1}}}\right)^{\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}

.

Nach dem Text ist δ₀ = 33; a = 1200; δ₁ = 32 engl. Fuss, r = 4000 Meilen = 19191600 Fuss, und x der Reihe nach in Meilen = 5, 10, 20, 40, 400, 4000, 40000, 400000, 4000000, ∼. Setzen wir log $\scriptstyle \left({\frac {\delta _{0}}{\delta _{1}}}\right)$ = log $\scriptstyle {\frac {33}{32}}$ = 0,0133639 = C so folgt aus 5.

6. log δ = log 33 — C ·

\scriptstyle {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}

und hiernach, folgende tabellarische Rechnung:

x	1 + $\scriptstyle {\frac {r}{x}}$	$\scriptstyle \log \left(1+{\frac {r}{x}}\right)$	$\scriptstyle \log \left\{C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}\right\}$	$\scriptstyle C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$	log 33 — $\scriptstyle C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$	δ	A.
5 10 20 40 400 4000 40000 400000 4000000 ∼	801 401 201 101 11 2 1,1 1,01 1,001 1	2,9036325 2,6031444 2,3031961 2,0043214 1,0413927 0,3010300 0,0413927 0,0043214 0,0004341 0,0000000	9,4262480 9,7267361 0,0266844 0,3255591 1,2884878 2,0288505 2,2884878 2,3255591 2,3294464 2,3298805	0,266842 0,533011 1,06337 2,11621 19,43067 106,86869 194,30673 211,62117 213,62384 213,73739	1,2516759 0,9855030 0,4551769 9,4023019 0,XVII08784 0,CV64982 0,CXCII21178 0,CCX89734 0,CCXII99467 0,CCXII78112	17,8516 9,6717 2,8521 0,2525 0,XVII1224 0,CV4465 0,CXCII1628 0,CCX7895 0,CCXII9878 0,CCXII6041	1,8486 3,4120 11,5701 130,68 26957XV 73908CII 20259CLXXXX 41799CCVII 33414CCIX 54625CCIX

Diese Darstellung verdanke ich meinem mathematischen Freunde Dr. Tietjen, wonach die Werthe δ bis auf den x = 400000 entsprechenden übereinstimmen. Hier steht im Original 7859 statt 7895, ein oft vorkommendes Versehen. Unser Werth scheint der richtigere zu sein, indem der aus $\scriptstyle {\frac {33}{\delta }}$ sich ergebende Werth von A hiermit 41799 wie im Original wird. Auch die Werthe von A stimmen nicht alle mit den im Original aufgeführten.

Es ist zwar r = 4000 e. Meilen angegeben, aber nicht wie viele [664] Fuss auf 1 e. Meile gehen, was doch erforderlich, weil a in Fussen ausgedrückt ist. Der Werth von $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ ist demnach aus einen der einzelnen Fälle abgeleitet worden, und zwar am einfachsten aus x = ∼ entsprechenden, wo einfach nach Gl. 6. 1 + $\scriptstyle {\frac {r}{a}}={\frac {\log 33-\log \delta }{C.}}$ also weil hier δ = 0,CCXII6041, log 33 = 1,5185139, log δ = 0,CCXII78112,

log [log 33 — log δ] = log [213,73739] — 2,3298895,

log C = log [0,0133639] = 8,1259332 — 10,1 + $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ = 15993,64; $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ = 15992,64, 1 e. Meile = 4797,79 e. Fuss wird.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 562. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/570&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [662] No. 357. S. 562. Nach §. 30., Zusatz des zweiten Buches haben wir thnz : thkw = Aa — Ff : Aa — Cc oder 1. thnz : thkw = 1 — $\scriptstyle {\frac {Ff}{Aa}}$ : 1 — $\scriptstyle {\frac {Cc}{Aa}}$
Fig. 284.

Nach der Lehre von der Hyperbel wird aber

2. $\scriptstyle {\begin{cases}\\\end{cases}}$ thnz = log St — log Sz
thkw = log St — log Sw

und nach derselben Lehre SF · Ff = SA · Aa oder

$\scriptstyle {\frac {Ff}{Aa}}={\frac {SA}{SF}}$
und ebenso $\scriptstyle {\frac {Cc}{Aa}}={\frac {SA}{SC}}$ $\scriptstyle \left.{\begin{array}{c}\\\\\\\end{array}}\right\}$ 3.

Nach den Gleichungen 1. bis 3. wird, wenn man

St = AH, d. h. die Dichtigkeit in A durch δ₀

Sz = FN „ „ „ F „ δ

Sw = CK „ „ „ C „ δ₁

bezeichnet, $\scriptstyle {\frac {\log \ \delta _{0}-\log \ \delta }{\log \ \delta _{0}-\log \ \delta _{1}}}={\frac {1-{\frac {SA}{SF}}}{1-{\frac {SA}{SC}}}}$ oder, weil SF — SA = AF und [663] SC — SA = AC, wenn man den Abstand AF = x, AC = a, SC = SA + AC = r + a, SF = SA + AF = r + x setzt, wo r = 4000 englische Meilen den Halbmesser der Erde bezeichnet
$\scriptstyle {\frac {\log \left({\frac {\delta }{\delta _{0}}}\right)}{\log \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)}}={\frac {x}{a}}\cdot {\frac {r+a}{r+x}}$ , $\scriptstyle \log \left({\frac {\delta }{\delta _{0}}}\right)={\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}\log \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)$
und indem man von den Logarithmen auf Zahlen übergeht:
5. $\scriptstyle \delta =\delta _{0}\cdot \left({\frac {\delta _{1}}{\delta _{0}}}\right)^{\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}=\delta _{0}:\left({\frac {\delta _{0}}{\delta _{1}}}\right)^{\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$ .
Nach dem Text ist δ₀ = 33; a = 1200; δ₁ = 32 engl. Fuss, r = 4000 Meilen = 19191600 Fuss, und x der Reihe nach in Meilen = 5, 10, 20, 40, 400, 4000, 40000, 400000, 4000000, ∼. Setzen wir log $\scriptstyle \left({\frac {\delta _{0}}{\delta _{1}}}\right)$ = log $\scriptstyle {\frac {33}{32}}$ = 0,0133639 = C so folgt aus 5.
6. log δ = log 33 — C · $\scriptstyle {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$
und hiernach, folgende tabellarische Rechnung:

x 1 + $\scriptstyle {\frac {r}{x}}$ $\scriptstyle \log \left(1+{\frac {r}{x}}\right)$ $\scriptstyle \log \left\{C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}\right\}$ $\scriptstyle C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$ log 33 — $\scriptstyle C\cdot {\frac {1+{\frac {r}{a}}}{1+{\frac {r}{x}}}}$ δ A.

5
10
20
40
400
4000
40000
400000
4000000
∼ 801
401
201
101
11
2
1,1
1,01
1,001
1 2,9036325
2,6031444
2,3031961
2,0043214
1,0413927
0,3010300
0,0413927
0,0043214
0,0004341
0,0000000 9,4262480
9,7267361
0,0266844
0,3255591
1,2884878
2,0288505
2,2884878
2,3255591
2,3294464
2,3298805 0,266842
0,533011
1,06337
2,11621
19,43067
106,86869
194,30673
211,62117
213,62384
213,73739 1,2516759
0,9855030
0,4551769
9,4023019
0,XVII08784
0,CV64982
0,CXCII21178
0,CCX89734
0,CCXII99467
0,CCXII78112 17,8516
9,6717
2,8521
0,2525
0,XVII1224
0,CV4465
0,CXCII1628
0,CCX7895
0,CCXII9878
0,CCXII6041 1,8486
3,4120
11,5701
130,68
26957XV
73908CII
20259CLXXXX
41799CCVII
33414CCIX
54625CCIX

Diese Darstellung verdanke ich meinem mathematischen Freunde Dr. Tietjen, wonach die Werthe δ bis auf den x = 400000 entsprechenden übereinstimmen. Hier steht im Original 7859 statt 7895, ein oft vorkommendes Versehen. Unser Werth scheint der richtigere zu sein, indem der aus $\scriptstyle {\frac {33}{\delta }}$ sich ergebende Werth von A hiermit 41799 wie im Original wird. Auch die Werthe von A stimmen nicht alle mit den im Original aufgeführten.
Es ist zwar r = 4000 e. Meilen angegeben, aber nicht wie viele [664] Fuss auf 1 e. Meile gehen, was doch erforderlich, weil a in Fussen ausgedrückt ist. Der Werth von $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ ist demnach aus einen der einzelnen Fälle abgeleitet worden, und zwar am einfachsten aus x = ∼ entsprechenden, wo einfach nach Gl. 6. 1 + $\scriptstyle {\frac {r}{a}}={\frac {\log 33-\log \delta }{C.}}$ also weil hier δ = 0,CCXII6041, log 33 = 1,5185139, log δ = 0,CCXII78112,
log [log 33 — log δ] = log [213,73739] — 2,3298895,
log C = log [0,0133639] = 8,1259332 — 10,1 + $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ = 15993,64; $\scriptstyle {\frac {r}{a}}$ = 15992,64, 1 e. Meile = 4797,79 e. Fuss wird.

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