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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

SP³ proportional SY² · PV, d. h. nach §. 21., Zusatz 3. und 5. indirect proportional der Centripetalkraft.

§. 26. Lehnsatz. Alle um eine gegebene Ellipse beschriebenen Parallelogramme sind einander gleich. Dasselbe gilt von den Parallelogrammen, welche in der Hyperbel an ihre Durchmesser beschrieben werden. Beides ist aus der Lehre von den Kegelschnitten bekannt.^[1]

Fig. 23.

§. 27. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich in einer Ellipse; man sucht das Gesetz der nach dem Mittelpunkte der Ellipse gerichteten Centripetalkraft.

Es seien CA und CB die halben Axen der Ellipse, GP und DK conjugirte Durchmesser, PF und QT Perpendikel auf die letztere, Qv die Ordinate des Punktes Q in Bezug auf GP als Abscissenaxe. Vollendet man das Parallelogramm QvPR, so ist nach den Lehren der Kegelschnitte

A.

Pv · vG : Qv² = PC² : CD²^[2].

Da aber

Δ QvT ∼ PCF,

ist B.

Qv² : QT² = PC² : PF²,

und indem man beide Proportionen mit einander verbindet,

C.

Pv · vG : QT² = PC² : CD² · PF²

oder D.

\scriptstyle vG:{\frac {QT^{2}}{Pv}}=PC^{2}:{\frac {CD^{2}\cdot \ PF^{2}}{PC^{2}}}

.

Nach §. 26. ist ferner E.

\scriptstyle {\begin{cases}CD\ \cdot \ &PF=BC\ \cdot \ CA\\&Pv=QR\end{cases}}

,

und im Fall die Punkte P und Q zusammenfallen,

F.

vG = 2 · PC.

Substituirt man diese verschiedenen Werthe E. und F. in D., so erhält man

G.

\scriptstyle {\frac {QT^{2}\cdot \ PC^{2}}{QR}}={\frac {2BC^{2}\cdot \ CA^{2}}{PC}}

.

Nach §. 21., Zusatz 5. ist daher die Centripetalkraft indirect

\scriptstyle {\frac {2BC^{2}\cdot \ CA^{2}}{PC}}

,

d. h. weil 2BC² · CA² constant ist, indirect $\scriptstyle {\frac {1}{PC}}$ oder direct PC proportional.

↑ [579] No. 12. S. 67. Sind in der Ellipse oder Hyperbel a' und b' conjugirte Halbmesser, α der Coordinatenwinkel, a und b die halben Hauptaxen, so ist bekanntlich a'b' sin α = ab.
↑ [579] No. 13. S. 67. Setzt man Pv = x', Qv = y', DC = b', CP = a', so stimmt die Proportion Pv · vG : Qv² = PC² : CD² (Fig. 23.) mit der bekannten Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y'^{2}={\frac {b'^{2}}{a'^{2}}}\left(2a'x'-x'^{2}\right)$ überein.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 67. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/75&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [579] No. 12. S. 67. Sind in der Ellipse oder Hyperbel a' und b' conjugirte Halbmesser, α der Coordinatenwinkel, a und b die halben Hauptaxen, so ist bekanntlich a'b' sin α = ab.

[2] [579] No. 13. S. 67. Setzt man Pv = x', Qv = y', DC = b', CP = a', so stimmt die Proportion Pv · vG : Qv² = PC² : CD² (Fig. 23.) mit der bekannten Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y'^{2}={\frac {b'^{2}}{a'^{2}}}\left(2a'x'-x'^{2}\right)$ überein.

[1]

[2]