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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

mithin in diesem Falle

CP² : PM² = 2PM · QR : QT²

und

$\scriptstyle {\frac {QT^{2}}{QR}}={\frac {2PM^{3}}{CP^{2}}}$

endlich,

$\scriptstyle {\frac {QT^{2}\cdot \ SP^{2}}{QR}}={\frac {2PM^{3}\cdot \ SP^{2}}{CP^{2}}}$.

Nach §. 21., Zusatz 1. und 5. ist daher die Centripetalkraft indirect proportional

$\scriptstyle {\frac {2PM^{3}\cdot \ SP^{2}}{CP^{2}}}$ oder PM³,

weil $\scriptstyle {\frac {2SP^{2}}{CP^{2}}}$ constant ist.

Denselben Schluss zieht man leicht aus §. 22.

§. 24. Anmerkung. Auf wenig verschiedene Weise zeigt man, dass ein Körper sich in einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel bewegt, in Folge einer Centripetalkraft, welche indirect der nach einem sehr entfernten Centrum der Kräfte gerichteten Ordinate proportional ist.

Fig. 22.

§. 25. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich auf der Spirallinie PQ, welche alle Radien SP, SQ etc. unter einem constanten Winkel schneidet; man sucht das Gesetz der nach dem Centrum S der Spirallinie gerichteten Centripetalkraft. Ist der unbestimmt kleine Winkel PSQ gegeben, so kennt man wegen der übrigen bekannten Winkel, die Figur SPRQT ihrer Form nach. Das Verhältniss $\scriptstyle {\frac {QT}{QR}}$ ist daher gegeben und, weil jene Figur der Form nach gegeben ist, $\scriptstyle {\frac {QT^{2}}{QR}}$ proportional QT, d. h. SP.

Verändert man nun den Winkel PSQ, so ändert sich die Linie QR, welche den Berührungswinkel QPR unterspannt, nach §. 11. im doppelten Verhältniss von PR oder QT. Daher ist das Verhältniss

$\scriptstyle {\frac {QT^{2}}{QR}}$

constant und gleich SP, so wie

$\scriptstyle {\frac {QT^{2}\cdot \ SP^{2}}{QR}}$ proportional SP³,

d. h. nach §. 21., Zusatz 1. und 5. indirect proportional der Centripetalkraft.

Zweiter Beweis. Das auf die Tangente gefällte Perpendikel SY und die Sehne PV desjenigen Kreises, welcher die Spirale concentrisch schneidet, stehen zum Radius SP im constanten Verhältniss; daher ist

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 66. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/74&oldid=- (Version vom 1.8.2018)