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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

und indem man auf beiden Seiten durch $\scriptstyle {\frac {SP^{2}}{QR}}$ multiplicirt

8.

\scriptstyle {\frac {QT^{2}\cdot SP^{2}}{QR}}

= L · SP².

Nach §. 21., Zusatz 1. und 5. ist daher die Centripetalkraft

L · SP²,

oder weil L constant ist,

SP²

indirect proportional.

Zweiter Beweis. Man suche die Kraft, welche nach dem Mittelpunkte C der Hyperbel gerichtet ist; dieselbe ist dem Abstande CP proportional (§. 27., Zusatz 1.). Alsdann wird (nach §. 22., Zusatz 3.) die nach dem Brennpunkte S gerichtete Kraft

\scriptstyle {\frac {PE^{3}}{PS^{2}}}

,

d. h. weil PE constant ist,

PS²

indirect proportional.

Eben so wird bewiesen, dass, wenn die Centripetalkraft in eine Centrifugalkraft verwandelt ist, der Körper sich in der entgegengesetzten Hyperbel bewege.

§. 31. Lehnsatz. Der Parameter einer Parabel, welcher sich auf einen beliebigen Scheitelpunct bezieht, ist dem vierfachen Abstand jenes Scheitels vom Brennpunkte gleich.

Bekannt aus der Lehre von den Kegelschnitten.^[1]

Fig. 26.

§. 32. Lehnsatz. Das Perpendikel, welches vom Brennpunkte einer Parabel auf eine Tangente gefällt wird, ist die mittlere Proportinallinie zwischen der Entfernung des Brennpunktes vom Berührungspunkte und der Entfernung des erstern vom Hauptscheitelpunkte.

Es sei AQP eine Parabel, S ihr Brennpunkt, P ein Berührungspunkt, PO die Ordinate desselben, AO die Axe, PM die Tangente, welche die Axe in M schneidet, endlich SN das Perpendikel von S auf PM. Man ziehe AN. Da nun

MS = PS,

MN = NP,

und

MA = AO;^[2]

so ist

AN ∥ PO

und

\scriptstyle \angle

SAN = 90°;

↑ [580]
Fig. 229.
No. 17. S. 73. Ist A der Hauptscheitelpunkt der Parabel, S ihr Brennpunkt, P ein anderer Scheitelpunkt, x' die Abscisse, y' die Ordinate, beide auf den letzteren Scheitelpunkt bezogen; so hat man bekanntlich $\scriptstyle y'^{2}={\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}x'$ . Es ist aber $\scriptstyle tg\alpha ={\frac {p}{b}}$ , also $\scriptstyle {\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}=2p\cdot {\frac {b^{2}+p^{2}}{p^{2}}}={\frac {2p\left(2ap+p^{2}\right)}{p^{2}}}=4\left(a+{\frac {p}{2}}\right)$ und da $\scriptstyle r^{2}=b^{2}+\left({\frac {p}{2}}-a\right)^{2}=2ap+{\frac {p^{2}}{4}}-pa+a^{2}=\left(a+{\frac {p}{2}}\right)^{2}$ also $\scriptstyle r=a+{\frac {p}{2}}$ , so wird $\scriptstyle {\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}=4r$ .
↑ [580] No. 18. S. 73. Ist wie vorhin PO = b, AO = a (Fig. 26.), so wird als Subtangente $\scriptstyle MO={\frac {b}{tga}}={\frac {b^{2}}{p}}={\frac {2ap}{p}}=2a$ , mithin MA = AO = a. Ferner ist SP = r = a + $\scriptstyle {\frac {p}{2}}$ = AM + AS = MS, endlich da MSP gleichschenklig und SN (Fig. 26.) perpendikular auf MP, so ist MN = NP.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 73. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/81&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [580]
Fig. 229.
No. 17. S. 73. Ist A der Hauptscheitelpunkt der Parabel, S ihr Brennpunkt, P ein anderer Scheitelpunkt, x' die Abscisse, y' die Ordinate, beide auf den letzteren Scheitelpunkt bezogen; so hat man bekanntlich $\scriptstyle y'^{2}={\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}x'$ . Es ist aber $\scriptstyle tg\alpha ={\frac {p}{b}}$ , also $\scriptstyle {\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}=2p\cdot {\frac {b^{2}+p^{2}}{p^{2}}}={\frac {2p\left(2ap+p^{2}\right)}{p^{2}}}=4\left(a+{\frac {p}{2}}\right)$ und da $\scriptstyle r^{2}=b^{2}+\left({\frac {p}{2}}-a\right)^{2}=2ap+{\frac {p^{2}}{4}}-pa+a^{2}=\left(a+{\frac {p}{2}}\right)^{2}$ also $\scriptstyle r=a+{\frac {p}{2}}$ , so wird $\scriptstyle {\frac {2p}{\sin \ \alpha ^{2}}}=4r$ .

[2] [580] No. 18. S. 73. Ist wie vorhin PO = b, AO = a (Fig. 26.), so wird als Subtangente $\scriptstyle MO={\frac {b}{tga}}={\frac {b^{2}}{p}}={\frac {2ap}{p}}=2a$ , mithin MA = AO = a. Ferner ist SP = r = a + $\scriptstyle {\frac {p}{2}}$ = AM + AS = MS, endlich da MSP gleichschenklig und SN (Fig. 26.) perpendikular auf MP, so ist MN = NP.

[1]

[2]