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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Man halbire Kk in X und ziehe HX, HS, HV und Hv. Da

1.     VK : KS = a : e = Vk : kS,

so ist auch

2.     VK + Vk : KS + kS = a : e

und

3.     Vk – VK : kS – KS = a : e.

Aber

4.     VK + Vk = 2VK + 2KX = 2VX

5.     Vk – VKa = 2KX = 2HX

6.     KS + kS = 2KX = 2HX

7.     kS – KS = kK – 2KS = 2KX – 2 KS = 2 SX

demnach nach 2., 3., 4. und 6.

2VX : 2HX = 2HX : 2SX

oder

8.     VX : HX = 2HX : SX

mithin

Δ VXH ∼ HXS

und so

VH : SH	= VX : HX = VX – HX : XH – SX (Gl. 8.)
VH : SH	= VK : KS
	= a : e. (Gl. 1.).

Demnach hat die grosse Axe VH der zu beschreibenden Figur zum Abstande SH ihrer Brennpunkte das verlangte Verhältniss. Da ferner VH und vH den grossen Axen gleich sind, und die Linien VS und vS durch TR und tr rechtwinklig geschnitten und halbirt werden; so sind die letztern nach §. 38. Tangenten der beschriebenen Figur 24.

Dritter Fall. Bei gegebenem Brennpunkt S ist die Curve zu bestimmen, welche TR im gegebenen Punkte R berühre.

Fig. 35.

Man fälle auf PR das Perpendikel ST, und mache dessen Verlängerung

VT = ST.

Hierauf ziehe man VR und suche auf der unbestimmt verlängerten Linie VS die Punkte K und k so, dass

VK : KS = Vk : kS = a : e

werde, wo a und e dieselbe Bedeutung, wie im zweiten Falle haben. Ueber Kk als Durchmesser beschreibe man einen Kreis, welcher VR in H schneidet und construire nun zu S und H als Brennpunkten und der Axe HV die Figur; alsdann ist diese die verlangte. Dass

VH : SH = VK : SK = a : e

sei, erhellt aus dem Beweise des zweiten Falles, daher ist die zu beschreibende Figur die verlangte. Dass TR, welche den Winkel VRS halbirt, die Curve in R berühre, folgt aus der Lehre von den Kegelschnitten.^[1]

Vierter Fall. Um einen gegebenen Brennpunkt S soll die

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1. 

   Fig. 232.

   No. 24. S. 84. Soll man K und k so bestimmen, dass VK : KS = Vk : kS = a : e werde, so ziehe man aus V unter beliebigem Winkel mit VS die Linie VM, mache auf dieser VL = a, LM = e = LN, ziehe MS und LK ∥ MS; alsdann ist VK : KS = VL : LM = a : e. Ferner ziehe man NS und Lk ∥ NS; alsdann ist Vk : kS = VL : LN = a : e; also auch VK : KS = Vk : kS.
   

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 84. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/92&oldid=- (Version vom 1.8.2018)