Lage nach gegeben. Man kennt ferner die Linie TA und den Winkel ATZ, und wegen der gegebenen Verhältnisse AZ : ZS und TZ : ZS auch das AZ : TZ. Demnach ist das Dreieck ATZ, in dessen Spitze der zweite Punkt Z liegt, bekannt.
Zweiter Fall. Sind zwei der drei Linien einander gleich, ist etwa
so liegt der Punkt Z in dem Perpendikel, welches in der Mitte von AB auf dieser Linie errichtet ist; der zweite geradlinige Ort desselben Punktes wird wie vorhin durch Δ ATZ gefunden.
Dritter Fall. Sind alle drei Linien einander gleich, so liegt Z im Mittelpunkte des durch A, B, C gehenden Kreises.
Die Lösung dieses Lehnsatzes findet man auch in dem, von Vieta restituirten, Werke: Liber Tactionum Appollonii.
§. 43. Aufgabe. Um einen gegebenen Brennpunkt eine Curve zu beschreiben, welche entweder durch gegebene Punkte geht, oder gegebene gerade Linien berührt.
Fig. 38.
S sei der gegebene Brennpunkt, P der gegebene Punkt, TR die Tangente; man sucht den andern Brennpunkt H.
Fällt man das Perpendikel ST von S auf TR, macht man die Verlängerung
ferner
wo 2a die grosse Axe bezeichnet; verbindet man hierauf P mit S und H; so wird
Fig. 39.
Sind demnach mehrere Tangenten gegeben, so kennt man eben so viele einander gleiche Linien YH, und sind mehrere Punkte P gegeben, so kennt man eben so viele Linien PH, welche um gegebene SP von 2a verschieden sind. Hieraus findet man nach §. 42. den andern Brennpunkt H. Hat man aber die Brennpunkte und zugleich die grosse Axe (welche entweder = YH, oder in der Ellipse = PH + PS und in der Hyperbel = PH – PS ist); so erhält man auch die Curve.
§. 44. Anmerkung. Der Fall, in welchem drei Punkte gegeben sind, wird folgendermassen kürzer gelöst. Sind B, C, D die drei Punkte, so verbinde man B mit C und C mit D, verlängere beide Linien BC, CD so weit bis E und F, dass
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 87. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/95&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
