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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

5.     $\scriptstyle {\begin{cases}vh:pq&=VS:SP\\&=ab:r\ (Prop.\ 1.).\\vh:pq&=ab:pq.\end{cases}}$

Es ist daher

vh = ab,

und da ferner

Δ VSH ∼ vsh

auch

6.     VH : SH = vh : sh.

Die beschriebene Figur ist mithin der gegebenen ähnlich, weil nach der Construction die grosse Axe und der gegenseitige Abstand der Brennpunkte in beiden proportional sind. Die erhaltene Figur geht durch den gegebenen Punkt P, weil

Δ PSH ∼ psh,

und da endlich VH gleich der grossen Axe und VS durch TR perpendikulär in zwei gleiche Theile geschnitten wird, berührt TR die Curve.

Fig. 37.

§. 42. Lehnsatz. Von drei gegebenen Punkten aus soll man nach einem vierten nicht gegebenen drei gerade Linien ziehen, deren Unterschiede entweder gegeben oder gleich Null sind.

Erster Fall. Die drei gegebeneu Punkte seien A, B, C, der vierte zu findende Z. Da der Unterschied

BZ – AZ = MN

gegeben ist, so wird Z auf einer Hyperbel liegen, deren Brennpunkte A und B und deren grosse Axe MN ist. Bestimmt man nun den Punkt P auf AB so, dass

1.     PM : MA = MN : AB,

errichtet man PR perpendikulär auf AB, fällt man das Perpendikel ZR auf PR; so hat man nach den Gesetzen der Hyperbel

2.     ZR : AZ = MN : AB.^[1]

Aus demselben Grunde liegt Z auf einer andern Hyperbel, deren Brennpunkte A und C sind und deren grosse Axe dem Unterschiede

CZ – AZ

gleich ist. Errichtet man QS perpendikulär auf AC, fällt man vom Punkte Z der zweiten Hyperbel das Perpendikel ZS auf QS; so hat man wie vorhin

3.     ZS : AZ = CZ – AZ : AC.

Die Verhältnisse ZR : AZ und ZS : AZ sind demnach bekannt, mithin auch das Verhältniss

ZR : ZS.

Treffen daher die Linien RP und QS im Punkte T zusammen, und zieht man die Linien TZ und TA, so ist die Figur TRZS ihrer Form und die Linie TZ, auf welcher der Punkt Z irgendwo sich befindet, ihrer

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1. 

   Fig. 234.

   No. 26. S. 86. Da MN = BZ – AZ, (Fig. 37.) so halbire man AB in U, trage rechts und links von U die gegebene Länge ½MN auf; alsdann ist MA gegeben. Macht man nun BV = MN, BW = MA, zieht man AW und XV ∥ AW; so hat man BX : BW = BV : AB, d. h. BX : MA = MN : AB also BX = PM (im Text).

   Setzt man die grosse Axe MN = 2a (Fig. 37.), die Excentricität AB = 2ae; so ist MA = ½(AB – MN) = ae – a; also nach Prop. 1. $\scriptstyle PM={\frac {(ae-a)2a}{2ae}}={\frac {ae-a}{e}}$.

   Ist ferner die Abscisse des Punktes Z, in Bezug auf MA als Axe und M als Anfangspunkt, = x, der Radiusvector AZ = r; so wird $\scriptstyle ZR=x+PM={\frac {ex+ae-a}{e}}$ und da r = ex + ae – a (§. 41., Bemerkung) $\scriptstyle ZR={\frac {r}{e}}$, $\scriptstyle {\frac {ZR}{AZ}}={\frac {1}{e}}$. Da nun ferner $\scriptstyle {\frac {MN}{AB}}={\frac {2a}{2ae}}={\frac {1}{e}}$

   ZR : AZ = MN : AB.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 86. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/94&oldid=- (Version vom 1.8.2018)