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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

angenommen werden. Wir können dasselbe durch partielle Integration umformen. Wir erhalten zunächst, die Definitionsgleichung (1a) des Vektors ${\mathfrak {F}}$, die Feldgleichungen IIa, c, sowie die Rechnungsregel ($\gamma$) verwendend:

${\begin{aligned}dA_{i}&=\int \int \int \ dv\ \varrho ({\mathfrak {E}}\delta s)+\int \int \int {\frac {dv\varrho }{c}}([{\mathfrak {vH}}],\delta s)\\&={\frac {1}{4\pi }}\int \int \int \ dv\left({\mathfrak {E}}\delta s\right)\mathrm {div} \ {\mathfrak {E}}\\&+{\frac {1}{4\pi }}\int \int \int \ dv\left(\mathrm {curl} \ {\mathfrak {H}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}},[{\mathfrak {H}}\delta s]\right).\end{aligned}}$

Wir setzen

(3a) (3b) (3c)

${\begin{aligned}\delta A_{i}&=\delta A_{e}+\delta A_{m},\\\delta A_{e}&={\frac {1}{4\pi }}\int \int \int \ dv\left({\mathfrak {E}}\delta s\right)\mathrm {div} \ {\mathfrak {E}},\\\delta A_{m}&={\frac {1}{4\pi }}\cdot \int \int \int \ dv\left(\mathrm {curl} \ {\mathfrak {H}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}},[{\mathfrak {H}}\delta s]\right).\end{aligned}}$

Wir rechnen $\delta A_{e}$ und $\delta A_{m}$, den elektrischen und magnetischen Anteil der virtuellen Arbeit $\delta A_{i}$, einzeln um, wobei jetzt die Komponenten der Vektoren ${\mathfrak {E}}$, ${\mathfrak {H}}$, $\delta s$ als stetige, differenzierbare Funktionen der Koordinaten und der Zeit zu betrachten sind. Die Anwendung der Regel ($\epsilon$) ergibt:

(3d)	$\delta A_{e}={\frac {1}{4\pi }}\int \int \ do({\mathfrak {E}}\delta s)E_{\nu }+{\frac {1}{4\pi }}\cdot \int \int \int \ dv({\mathfrak {E}},\ \mathrm {grad} ({\mathfrak {E}}\delta s)).$

Drückt man das innere Produkt des Vektors ${\mathfrak {E}}$ und des Gradienten von $({\mathfrak {E}}\delta s)$ durch die Komponenten von ${\mathfrak {E}}$ und $\delta s$ aus, so bemerkt man, daß die Differentialquotienten von $\xi \ \eta \ \zeta$ nach den Koordinaten nur in solchen Verbindungen eingehen, die infolge der Gleichungen (3) verschwinden. Es wird:

${\begin{aligned}({\mathfrak {E}},\ \mathrm {grad} ({\mathfrak {E}}\delta s))=-&\ \left\{\xi \left({\mathfrak {E}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial x}}+{\mathfrak {E}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial y}}+{\mathfrak {E}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial z}}\right)\right.\\&+\eta \left({\mathfrak {E}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x}}+{\mathfrak {E}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial y}}+{\mathfrak {E}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial z}}\right)\\&\left.+\ \zeta \left({\mathfrak {E}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{z}}{\partial x}}+{\mathfrak {E}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{z}}{\partial y}}+{\mathfrak {E}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{z}}{\partial z}}\right)\right\}\end{aligned}}$

Mit Hülfe der Feldgleichung (IIb) läßt sich der Faktor von $\xi$ auf die Form bringen:

${\mathfrak {E}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial x}}+{\mathfrak {E}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial y}}+{\mathfrak {E}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}^{2}}{\partial x}}+{\frac {1}{c}}\left\{{\mathfrak {E}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial t}}-{\mathfrak {E}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{y}}{\partial t}}\right\},$

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 121. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/17&oldid=- (Version vom 31.7.2016)