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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Die Bestimmung der Lagrangeschen Funktion ist so zurückgeführt auf die Berechnung der elektrostatischen Energie eines ruhenden Systems; dasselbe entsteht aus dem bewegten dadurch, daß eine Streckung (13a) parallel der Bewegungsrichtung ausgeführt wird, wobei die Ladung der Volumenelemente, mithin auch die Gesamtladung, konstant bleibt.

Dieses Resultat gilt für beliebige Ladungsverteilung; wir wenden es jetzt auf unser kugelförmiges Elektron vom Radius a an. Im Falle gleichförmiger Volumenladung des Elektrons ist sein Bild in S' ein gleichförmig über sein Volumen geladenes Rotationsellipsoid von den Halbachsen

(14a)

${\frac {a}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=a',\ a,\ a$.

Liegt der Fall der Flächenladung vor, so ist in S' die Ladung e gleichförmig verteilt über eine äußerst dünne, von zwei ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellipsoiden begrenzte Schicht. Das Potential φ' der letzteren Verteilung ist bekanntlich in dem Hohlräume konstant, die Verteilung entspricht mithin der Gleichgewichtsverteilung auf der Oberfläche eines leitenden Ellipsoids. Nennen wir Q' die Kapazität eines Ellipsoides von den Halbachsen (14a), so gilt die Formel^[1]

(14b)

${\frac {1}{Q'}}={\frac {\ln \left({\frac {a'+{\sqrt {a'^{2}-a^{2}}}}{a}}\right)}{\sqrt {a'^{2}-a^{2}}}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{2\beta a}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)$.

Die elektrostatische Energie des Systems S' beträgt daher bei Flächenladung:

(14c)

$W'_{e}={\frac {e^{2}}{2Q'}}={\frac {e^{2}}{2a}}\cdot {\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{2\beta }}\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)$.

Den Fall der Volumenladung aber können wir sofort auf denjenigen der Flächenladung zurückführen. Es gilt nämlich in der Potentialtheorie der bemerkenswerte Satz:^[2] Die Selbstpotentiale

1. Vgl. z. B. J. C. Maxwell, Treatise 1. p. 244 der deutschen Übersetzung.
2. In meiner ersten Mitteilung (Göttinger Nachrichten p. 36. 1902) gab ich einen Beweis dieses Satzes; der Satz ergibt sich sofort, wenn man in den Ausdruck für die elektrostatische Energie des Vollellipsoides [§12 Gl (29a)] den bei E. Betti (Lehrb. d. Potentialtheorie p. 259. 1885) angegebenen Ausdruck für die Kapazität (Q') des leitenden Ellipsoides einsetzt. Dann erhält man $W'_{e}={\frac {3}{5}}e^{2}/Q'$ als Energie des Vollellipsoides.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 146. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/42&oldid=- (Version vom 20.8.2021)