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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

(29a)

${\begin{cases}W'_{e}={\frac {3}{10}}\cdot e^{2}\cdot {\overset {\infty }{\underset {0}{\int }}}{\frac {ds}{D(s;\ a',b',c')}},\\\\D(s;\ a',b',c')={\sqrt {(a'^{2}+s)(b'^{2}+s)(c'^{2}+s)}}.\end{cases}}$

Es kommt nun darauf an, diejenige Richtung im ursprünglichen Ellipsoid (mit den Halbachsen a, b, c) zu finden, der parallel die Streckung ausgeführt werden muß, um die elektrostatische Energie des gestreckten Ellipsoids zu einem Minimum zu machen.

Da die x-Achse im allgemeinen schief zu den Hauptachsen des Ellipsoides liegt, so schreiben wir seine Gleichung:

(29b)

$\alpha \cdot x^{2}+\beta \cdot y^{2}+\gamma \cdot z^{2}+2\delta \cdot yz+2\epsilon zx+2\zeta xy=1$.

Die ganze Funktion dritten Grades von s, die gleich Null gesetzt die negativen Halbachsenquadrate -a², -b², -c² als Wurzeln ergibt, und die demgemäß bei Coordinatentransformen invariant bleibt, ist

(29c)

$g_{3}=(s;a,b,c)\equiv \left|{\begin{array}{ccc}s\alpha +1&s\zeta &s\epsilon \\s\zeta &s\beta +1&s\delta \\s\epsilon &s\delta &s\gamma +1\end{array}}\right|\equiv \left({\frac {s}{a^{2}}}+1\right)\left({\frac {s}{b^{2}}}+1\right)\left({\frac {s}{c^{2}}}+1\right)$.

Es besteht mithin die Identität

(29d)

$D^{2}(s;a,b,c)=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}\cdot g_{3}(s;a,b,c)$.

Die Gleichung des gestreckten Ellipsoides sei

(29e)

$\alpha 'x'^{2}+\beta 'y'^{2}+\gamma 'z'^{2}+2\delta 'y'z'+2\epsilon 'z'x'+2\zeta 'x'y'=1$.

Da durch die Substitution

(29f)

$x=x\cdot {\sqrt {1-\beta ^{2}}}=x'\lambda ,\ y=y',\ z=z'$,

(29b) in (29e) übergehen soll, so ist zu setzen

(29g)

$\alpha '=\alpha \lambda ^{2},\ \beta '=\beta ,\ \gamma '=\gamma ,\ \delta '=\delta ,\ \epsilon '=\epsilon \lambda ,\ \zeta '=\zeta \lambda$,

folglich

(29h)

$g_{3}=(s;a',b',c')\equiv \left|{\begin{array}{ccc}s\alpha '+1&s\zeta '&s\epsilon '\\s\zeta '&s\beta '+1&s\delta '\\s\epsilon '&s\delta '&s\gamma '+1\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{ccc}s\alpha +{\frac {1}{\lambda }}&s\zeta &s\epsilon \\s\zeta &s\beta +1&s\delta \\s\epsilon &s\delta &s\gamma +1\end{array}}\right|\cdot \lambda ^{2}$.

Der Identität (29d) entspricht hier folgende:

(29i)

$D^{2}(s;a',b',c')=a'^{2}\cdot b'^{2}\cdot c'^{2}\cdot g_{3}(s;a',b',c')$.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 177. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/73&oldid=- (Version vom 1.8.2018)