Seite:RiemannPrim1859.djvu/4

	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

Ich setze nun $s={\tfrac {1}{2}}+ti$ und

$\prod \left({\frac {s}{2}}\right)(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\xi (t),$

so daß

$\xi (t)={\frac {1}{2}}-\left(tt+{\frac {1}{4}}\right)\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{-{\frac {3}{4}}}\cos \left({\frac {1}{2}}t\log x\right)dx$

oder auch

$\xi (t)=4\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {d\left(x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right)}{dx}}x^{-{\frac {1}{4}}}\cos \left({\frac {1}{2}}t\log x\right)dx.$

Diese Function ist für alle endlichen Werthe von $t$ endlich, und läßt sich nach Potenzen von $tt$ in eine sehr schnell convergirende Reihe entwickeln. Da für einen Werth von $s$, dessen reeller Bestandtheil größer als 1 ist, $\log \zeta (s)=-\sum \log(1-p^{-s})$ endlich bleibt und von den Logarithmen der übrigen Factoren von $\xi (t)$ dasselbe gilt, so kann die Function $\xi (t)$ nur verschwinden, wenn der imaginäre Theil von $t$ zwischen ${\tfrac {1}{2}}i$ und $-{\tfrac {1}{2}}i$ liegt. Die Anzahl der Wurzeln von $\xi (t)=0$, deren reeller Theil zwischen 0 und $T$ liegt, ist etwa $={\tfrac {T}{2\pi }}\log {\tfrac {T}{2\pi }}-{\tfrac {T}{2\pi }}$; denn das Integral $\textstyle \int d\log \xi (t)$ positiv um den Inbegriff der Werthe von $t$ erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen ${\tfrac {1}{2}}i$ und $-{\tfrac {1}{2}}i$ und deren reeller Theil zwischen 0 und $T$ liegt, ist, (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Größe ${\tfrac {1}{T}}$) gleich $(T\log {\tfrac {T}{2\pi }}-T)i;$ dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von $\xi (t)=0$, multiplicirt mit $2\pi i$. Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, daß alle Wurzeln reell sind. Hievon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indeß die Aufsuchung desselben, nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 674. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)