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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Es sei noch:

$T=\sum \limits _{\tau }T_{\tau }^{\tau }=\rho _{0}-3p$

(4)

und:

$\varkappa =8\pi k^{2}$

wo $k^{2}$ die Gausssche Gravitationskonstante ist. Dann lauten nach Hrn. Einstein (diese Berichte 1915, S.845, Gl. 2a) die rechten Seiten der Feldgleichungen:

$G_{\mu \nu }=-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right).$

(5)

Damit die Flüssigkeit im Gleichgewicht ist, müssen die Bedingungen (ebenda Gl. 7a)

$\sum \limits _{\alpha }{\frac {\partial T_{\tau }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum \limits _{\mu \nu }\Gamma _{\tau \nu }^{\mu }T_{\mu }^{\nu }=0$

(6)

erfüllt sein.

§ 3. Genau wie beim Massenpunkt sind auch für die Kugel die allgemeinen Gleichungen auf den Fall der Rotationssymmetrie um den Nullpunkt zu spezialisieren. Wie dort, empfiehlt es sich, die Polarkoordinaten von der Determinante 1:

$x_{1}={\frac {r^{3}}{2}},\ x_{2}=-\cos \vartheta ,\ x_{3}=\phi ,\ x_{4}=t$

(7)

einzuführen. Das Linienelement muß dann, wie dort, die Form haben:

$ds^{2}=f_{4}dx_{4}^{2}-f_{1}dx_{1}^{2}-f_{2}{\frac {dx_{2}^{2}}{1-x_{2}^{2}}}-f_{2}dx_{3}^{2}\left(1-x_{2}^{2}\right)$

(8)

so daß man hat:

$g_{11}=-f_{1},\ g_{22}=-{\frac {f_{2}}{1-x_{2}^{2}}},\ g_{33}=-f_{2}\left(1-x_{2}^{2}\right),\ g_{44}=f_{4},$

(die übrigen $g_{\mu \nu }=0$).

Dabei sind die $f$ Funktionen nur von $x_{1}$.

Auch ergeben sich für den Raum außerhalb der Kugel die dortigen Lösungen (10), (11), (12):

$f_{4}=1-\alpha \left(3x_{1}+\rho \right)^{-1/3},\ f_{2}=\left(3x_{1}+\rho \right)^{2/3},\ f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1,$

(9)

wobei $\alpha$ und $\rho$ zwei zunächst willkürliche Konstanten sind, die sich weiterhin aus Masse und Radius unsrer Kugel bestimmen müssen.

Es bleibt die Aufgabe, die Feldgleichungen für das Innere der Kugel mittels des Ausdrucks (8) des Linienelements anzusetzen und zu lösen. Für die rechten Seiten erhält man der Reihe nach:

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 425. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)