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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

$T_{11}=T_{1}^{1}g_{11}=-pf_{1},\ T_{22}=T_{2}^{2}g_{22}=-{\frac {pf_{2}}{1-x_{2}^{2}}},$ $T_{33}=T_{3}^{3}g_{33}=-pf_{2}\left[1-x_{2}^{2}\right],\ T_{44}=T_{4}^{4}g_{44}=\rho _{0}f_{4},$ $G_{11}={\frac {\varkappa f_{1}}{2}}\left(p-\rho _{0}\right),\ G_{22}={\frac {\varkappa f_{2}}{2}}{\frac {1}{1-x_{2}^{2}}}\left(p-\rho _{0}\right),$ $G_{33}={\frac {\varkappa f_{2}}{2}}\left[1-x_{2}^{2}\right]\left(p-\rho _{0}\right),\ G_{44}=-{\frac {\varkappa f_{4}}{2}}\left(\rho _{0}+3p\right).$

Unverändert vom Massenpunkt (§ 4) übernehmen lassen sich die Ausdrücke der Komponenten $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$ des Gravitationsfeldes durch die Funktion $f$ und die linken Seiten der Feldgleichungen. Man erhält im ganzen folgendes System von Gleichungen, wenn man sich wiederum auf den Äquator $\left(x_{2}=0\right)$ beschränkt:

Erstens die drei Feldgleichungen:

${\begin{array}{lllc}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{f_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{f_{4}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{1}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(a)}}\\\\+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)-1&-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{1}f_{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{2}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(b)}}\\\\-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{1}f_{4}}}\left({\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{4}\left(\rho _{0}+3p\right).&{\mathsf {(c)}}\end{array}}$

Dazu kommt die Determinantengleichung:

$f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1.$

(d)

Die Gleichgewichtsbedingungen (6) liefern die eine Gleichung:

$-{\frac {\partial p}{\partial x_{1}}}=-{\frac {p}{2}}\left[{\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {2}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right]+{\frac {\rho _{0}}{2}}{\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}.$

(e)

Aus Hrn. Einsteins allgemeinen Betrachtungen geht hervor, daß vorstehende 5 Gleichungen mit den 4 Unbekannten $f_{1},\ f_{2},\ f_{4},\ p$ miteinander verträglich sind.

Wir haben eine Lösung dieser 5 Gleichungen zu bestimmen, welche im Innern der Kugel singularitätenfrei ist. An der Kugeloberfläche muß $p=0$ sein, und die Funktionen $f$ nebst ihren ersten Derivierten müssen dort stetig in die außerhalb der Kugel geltenden Werte (9) übergehen.

Es soll zur Vereinfachung von jetzt an der Index 1 von $x_{1}$ wegbleiben.

§ 4. Die Gleichgewichtsbedingung (e) geht mit Hilfe der Determinantengleichung über in:

$-{\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\rho _{0}+p}{2}}{\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}.$

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 426. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)