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	Kurd von Mosengeil: Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum

Führt man auch noch die Integration nach $\vartheta$ aus, so erhält man:

${\mathfrak {E}}={\frac {2\pi }{c}}V\ d\nu \ {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v+\Delta v\right){\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v+\Delta v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}.$

Durch Entwickelung nach $\Delta v$ formt sich der Ausdruck um in:

(32)

${\begin{cases}{\mathfrak {E}}={\frac {4\pi }{c}}V\ d\nu \ \left\{{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right){\frac {1}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}\right.\\\\\qquad +{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)4{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\Delta v}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{3}}}\\\\\qquad +\left.{\frac {\partial {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial v}}{\frac {\Delta v}{\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{2}}}\right\}.\end{cases}}$

Aus dem Vergleich von (31) mit (32) folgt dann:

${\frac {\partial {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial \nu }}\cdot {\frac {{\frac {4}{3}}\nu {\frac {v}{c^{2}}}}{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}={\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right){\frac {4{\frac {v}{c^{2}}}}{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial v}}.$

Wir bringen diese Gleichung in die Form:

${\frac {\partial {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial \nu }}{\frac {1}{\nu ^{2}}}-3{\frac {{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\nu ^{3}}}$ $\qquad ={\frac {3}{4}}{\frac {c^{2}}{v}}\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right){\frac {1}{\nu ^{3}}}{\frac {\partial {\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\partial v}}.$

Hierfür läßt sich schreiben:

${\frac {\partial \left({\frac {1}{\nu ^{3}}}{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)\right)}{\partial (\log \nu )}}={\frac {\partial \left({\frac {1}{\nu ^{3}}}{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)\right)}{\partial \left(\log \left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right)}}.$

Das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet:

${\frac {{\mathfrak {K}}\left(\nu ,{\frac {\pi }{2}},v\right)}{\nu ^{3}}}=F\left(\log \nu +\log \left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right),$

wo $F$ eine willkürliche Funktion seines Argumentes bedeutet.

Empfohlene Zitierweise:
Kurd von Mosengeil: Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum. J.A. Barth, Leipzig 1907, Seite 888. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Theorie_der_stationaeren_Strahlung.djvu/22&oldid=- (Version vom 1.8.2018)