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	Vladimir Varićak: Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie

Schließen die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ den Winkel $\alpha$ ein, und ist

${\frac {v_{1}}{c}}=\mathrm {th} \,u_{1},\ {\frac {v_{2}}{c}}=\mathrm {th} \,u_{2},$

so trage man vom Punkte $O$ in der Richtung von $v_{1}$ die Strecke $OA=u_{1}$ ab, und setze unter dem Winkel $\alpha$ die Strecke $AC=u_{2}$ an. Der Resultante entspricht die Strecke $OC=u$. In dem Lobatschefskijschen Dreiecke $OAC$ besteht die Relation

$\mathrm {ch} \,u=\mathrm {ch} \,u_{1}\,\mathrm {ch} \,u_{2}+\mathrm {sh} \,u_{1}\,\mathrm {sh} \,u_{2}\,\cos \ \alpha .$

Setzt man hierin

$\mathrm {ch} \,u_{i}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \mathrm {sh} \,u_{i}={\frac {\frac {v_{i}}{c}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},$

so erhält man nach einigen leichten Umformungen das allgemeine Einsteinsche Additionstheorem der Geschwindigkeiten. Im Falle $\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}$, wird

$\mathrm {ch} \,u=\mathrm {ch} \,u_{1}\,\mathrm {ch} \,u_{2},$

oder

$\mathrm {th} ^{2}\,u=\mathrm {th} ^{2}\,u_{1}+\mathrm {th} ^{2}\,u_{2}-\mathrm {th} ^{2}\,u_{1}\,\mathrm {th} ^{2}\,u_{2},$

beziehungsweise

$v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}.$

Daß diese Addition nicht kommutativ ist, ersieht man leicht aus der ersten Sommerfeldschen Figur, die man jetzt aber als eine Figur in der Lobatschefskijschen Ebene aufzufassen hat. Man hat noch zu setzen

$OA=BD=u_{1},\ AC=OB=u_{2},\ OC=OD=u.$

In der hyperbolischen Geometrie ist die Summe der Winkel in jedem Dreiecke kleiner als zwei rechte. Es ist also

$\alpha _{1}+\alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}},$

und so fällt $OD$ nicht in die Richtung von $OC$. Für den Richtungsunterschied $\delta =\sphericalangle COD$ findet man

$\mathrm {cotg} \,\delta =\mathrm {tg} \,\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {sh} \,u_{1}+\mathrm {th} \,u_{2}\,\mathrm {sh} \,u_{2}}{\mathrm {sh} \,u_{1}\,\mathrm {sh} \,u_{2}-\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {th} \,u_{2}}}$
$={\frac {v_{1}^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}}}+v_{2}^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}}}}{v_{1}v_{2}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\right)}}.$

Es ist auch

$\mathrm {tg} \,{\frac {\delta }{2}}=\mathrm {th} \,{\frac {u_{1}}{2}}\,\mathrm {th} \,{\frac {u_{2}}{2}}.$

Sind $v_{1}$ und $v_{2}$ nicht in der $xy$-Ebene. sondern beliebig im Raume, so kommt man zu sechs Endpunkten, während wir oben nur die Punkte $C$ und $D$ hatten.

Ich will noch an einigen Beispielen zeigen, wie sich die Formeln von Einstein in der Lobatschefskijschen Geometrie reell deuten lassen.

Die Gleichungen (3) im § 5 der erwähnten Einsteinschen Abhandlung bestimmen in bezug auf das ruhende System $S$ die Geschwindigkeitskomponenten $u_{x},u_{y},u_{z}$ eines relativ zu $S'$ gleichförmig bewegten Punktes. Ist $u_{z'}=0$, so wird

${\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {u_{y'}}{u_{x'}+v}}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}.$

Nimmt man $c=\infty$, dann schließt die Gerade, auf der jener Punkt bewegt wird, mit der $x$-Achse den Winkel $\lambda$ ein. Bleibt dagegen $c$ endlich und gleich der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im leeren Raume, so findet man als Richtungskoeffizienten jener Geraden

$\mathrm {tg} \,\lambda '={\frac {\mathrm {tg} \,\lambda }{\mathrm {ch} \,u}}.$

Ist $u$ die Hypotenuse und ${\tfrac {\pi }{2}}-\lambda$ ein spitzer Winkel im rechtwinkeligen Lobatschefskijschen Dreiecke, so ist $\lambda '$ der zweite spitze Winkel. Er wird desto kleiner, je größer die Translationsgeschwindigkeit von $S'$ ist. Für $v=c$ hat man $\lambda '=0$.

Nehmen wir $s$ als die Ausdehnung eines ruhenden Elektrons in der Richtung der $x$-Achse. Wird es nun mit der Geschwindigkeit $v$ in derselben Richtung fortbewegt, so ist seine verkürzte Ausdehnung

$s'={\frac {s}{\mathrm {ch} \,u}}.$

Auf der Abstandslinie $y=u$, welche die $x$-Achse zur Mittellinie und $u$ zum Parameter hat, messe man von ihrem Durchschnittspunkte $U$ mit der Ordinatenachse angefangen die Länge $UM=s$ ab. Die Abszisse von $M$ ist $s'$.

Fig. 1.

Ebenso läßt sich das Zurückbleiben der relativ zu einem Bezugssystem gleichförmig bewegten Uhr interpretieren.

Setzt man weiter

$\varphi =\Pi \left(u_{1}\right),\ \varphi '=\Pi \left(u'_{1}\right),\ {\frac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u,$

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 94. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910a.djvu/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)