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	Vladimir Varićak: Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie

so erhält man aus der ersten Formel für das Dopplersche Prinzip

$\nu '=\nu \left(\mathrm {ch} \,u-\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {sh} \,u\right)={\frac {\nu \,\mathrm {ch} \,\left(u-u_{1}\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}.$

Dem Parallelwinkel $\varphi =0$ entspricht die Länge $u_{1}=\infty$, und so wird in diesem Falle

$\nu '=\nu e^{-u}.$

Es ist also

$\nu '=\nu \left(1-u+{\frac {u^{2}}{2!}}-{\frac {u^{3}}{3!}}+\dots \right).$

Für kleine Werte von $u$ kann man die höheren Potenzen vernachlässigen, und dann $\mathrm {th} \,{\tfrac {v}{c}}$ durch ${\tfrac {v}{c}}$ ersetzen. Die vorhergehende Formel geht in den Ausdruck für das Dopplersche Prinzip in der gewöhnlichen Mechanik über:

$\nu '=\nu \left(1-{\frac {v}{c}}\right).$

Man beachte, daß im gestrichenen Bezugssysteme $v'=-v$ ist.

Das Verhältnis der Frequenzen $\nu$ und $\nu '$ in der Formel $\nu '=\nu e^{-u}$ läßt sich darstellen als das Verhältnis zweier Grenzkreisbögen zwischen zwei gemeinsamen Achsen.

Der Ausdruck für die Aberration wird in

$\mathrm {th} \,u'_{1}=\mathrm {th} \,\left(u_{1}-u\right)$

transformiert. Es ist also die Aberrationsgleichung

$u'_{1}=u_{1}-u.$

Der Lichtstrahl $T$, von einer unendlich fernen Lichtquelle kommend, treffe die $x$-Achse im Punkte $M$ unter dem spitzen Winkel $\varphi$. Man trage im Sinne der wachsenden Abszissen die Strecke $MN=u$ ab, und ziehe von $N$ aus die Lobatschefskijsche Parallele zu $T$. Diese Parallele $T'$ schließt mit der $x$-Achse den Winkel $\varphi '$ ein.

Fig. 2.

Ist $\varphi ={\tfrac {\pi }{2}}$, also $u_{1}=0$, wo wird $u'_{1}=-u$ und der Winkel $\varphi '$ geht in seinen Supplement $\varphi '_{1}$ über.

Die Formeln der Relativtheorie werden in dieser Auffassung sehr vereinfacht. So z. B. für ein bewegtes Elektron von der Masse $\mu$ wird

longitudinale Masse $=\mu \ \mathrm {ch} ^{3}\,u$‚
transversale Masse = $=\mu \ \mathrm {ch} ^{2}\,u$,

statt^[1]

${\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}\ {\text{und}}\ {\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}.$

Stellt $UM$ (Fig. 1) die longitudinale Masse, so ist $ON$ die transversale.

Krümmungsradius $R$ der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft $N$ vorhanden ist, wird

$R={\frac {c^{2}\mu }{\epsilon N}}\mathrm {sh} \,u,$

statt^[2]

$R=c^{2}{\frac {\mu }{\epsilon }}\cdot {\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\cdot {\frac {1}{N}}.$

Ein in gleichförmiger Translationsbewegung in Richtung der wachsenden $x$-Koordinate befindlicher Körper hat nach der Relativitätstheorie die kinetische Energie

$K_{0}=\mu c^{2}\left\{{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}-1\right\},$

wobei $\mu$ seine Masse im gewöhnlichen Sinne bedeutet^[3]. Wir können das einfacher schreiben

$K_{0}=2\mu c^{2}\mathrm {sh} ^{2}{\frac {u}{2}}.$

Statt $\mathrm {sh} ^{2}{\tfrac {u}{2}}$ kann man auch $\mathrm {tg} \,p$ schreiben, wobei $p$ den Flächeninhalt eines Saccherischen zweirechtwinkeligen und gleichschenkeligen Vierecks bedeutet. Seine drei Seiten, welche zwei rechte Winkel einschließen, haben $u$ zur Länge.

Hier wurde vorausgesetzt, daß dieser Körper den äußeren Kräften nicht unterworfen war. Wirken aber auf diesen Körper äußere Kräfte, welche einander Gleichgewicht halten, dem Körper also keine Beschleunigung erteilen, so wird nach Untersuchungen von Einstein^[4] seine kinetische Energie merkwürdigerweise größer um

$\Delta E=-{\frac {\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\sum \left(\xi K_{\xi }\right).$

Nach unserer Festsetzung geht dieser Ausdruck in

$\Delta E=-\mathrm {th} \,u\,\mathrm {sh} \,u\,\sum \left(\xi K_{\xi }\right)$

über. Nehmen wir ein Lobatschefskijsches rechtwinkeliges Dreieck. Sind seine Katheten $a$

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1. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 919, 1905.
2. a. a. O. S. 921.
3. Einstein, Ann. d. Phys. 23, 374, 1907.
4. Ebenda S. 376.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 95. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910a.djvu/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)